\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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              unicode,%
              pdftitle={Exercices d'entrainement sur les suites},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}

\begin{document}
 \titre{Suites}
 \classe{\prems}
 \typedoc*{Entrainement}{7}
 \date{}
 
\affichetitre

\vspace{-\baselineskip}
\begin{multicols}{2}[\section{Variations et représentations graphiques}]


\begin{exercice}
Soit $u$ la suite définie par :
\[ \begin{dcases*}
u_0=6 & \\
u_{n+1}=\frac{1}{2}\sqrt{u_{n}^2+4}+1 & Pour tout $n\in\N$
\end{dcases*}
 \]
On donne ci-dessous la représentation graphique de $f$ définie par $f(x)= \frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}+1$
\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere.orth(-2,7,8cm,-1,5);
 draw quadrillage(1,1);
 draw axes(1,1);
 vardef f(expr x)= 0.5*sqrt(x**2+4)+1 enddef;
 draw courbefonc(f)() epaisseur 1;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sans calcul, placer les 4 premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses.
\item Quel semble être le sens de variation de la suite ?
\item Reprendre ce qui précède avec $u_{0}=0$
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Soit $v$ la suite définie par :
\[ \begin{dcases*}
v_0=a & \\
v_{n+1}=g(v_n) & Pour tout $n\in\N$
\end{dcases*}
 \]

où $g$ est la fonction dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

\begin{enumerate}
\item Placer les 4 premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses pour $a=3,5$
\item Conjecturer le sens de variation de la suite $v$ selon les valeurs de $a$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere.orth(-2,7,7cm,-1,6);
 draw quadrillage(1,1);
 draw axes(1,1);
 path p;
 p=(-2,0.5)..(0,0.75)..(1,1)..(3,2)..(4,4)..(5,7);
 draw p epaisseur 1;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $w$ la suite définie par :
\[ \begin{dcases*}
w_0=0 & \\
w_{n+1}=h(w_n) & Pour tout $n\in\N$
\end{dcases*}
 \]
où $h$ est la fonction définie par : \[ h(x)=\frac{8}{x+2} \]

On donne ci-dessous une partie de la représentation graphique de $h$
\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere.orth(-2,7,8cm,-1,5);
 draw quadrillage(1,1);
 draw axes(1,1);
 vardef f(expr x)= 8/(x+2) enddef;
 draw courbefonc(f)(-1.9,7) epaisseur 1;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Placer les 5 premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses
\item Que peut-on dire des variations de $w$ ?
\item Que se passe-t-il si $w_0=-6$ ?
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $u$ la suite définie par :
\[ \begin{dcases*}
u_0=0 \\
u_{n+1}=u_{n}+n^2-n+1 & Pour tout $n\in\N$
\end{dcases*} \]
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n$, exprimer $u_{n+1}-u_{n}$.
\item Quel est le signe de l'expression précédente ?
\item Que peut-on en déduire pour le sens variation de la suite $u$ ?  
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $v$ la suite définie sur $\N$ par : \[ v_n=\frac{5}{8^n} \]
\begin{enumerate}
\item Justifier que tous les termes de $v_n$ sont strictement positifs
\item Calculer, pour tout entier $n$, $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$
\item Comparer le quotient précédent à $1$.
\item Que peut-on en déduire pour le sens de variation de la suite $v$ ?  

\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $w$ la suite définie sur $\N$ par : \[ w_n=n^3+6n^2+9n-5 \]
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^3+6x^2+9x-5$.
\item Que peut-on en déduire pour le sens de variation de la suite $w$ ?  

\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
En utilisant la méthode la plus adaptée, déterminer le sens de variation de chacune des suites ci-dessous :
\begin{enumerate}[itemsep=1ex]
\item ${u_n} = n - {n^2}$ 
  \item ${u_n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} +... +
    \dfrac{1}{n}$ pour $n\in{}\N^*$
  \item ${u_n} = 3n \times {\left( {\dfrac{1}{3}}
      \right)^n}$ pour $n\in{}\N^*$
  \item $\begin{dcases*}
      {u_0} = 1\\
      {u_{n + 1}} = {\left( {{u_n} + 1} \right)^2} & Pour tout $n\in\N$
    \end{dcases*}$
 \end{enumerate}
 \vspace{-\itemsep}
 \begin{colenumerate}[resume,itemsep=1ex]{2}
  \item ${u_n} = \dfrac{{2{^{2n + 2}}}}{{{3^n}}}$
  \item ${u_n} = \dfrac{{2n + 5}}{{n + 1}}$
  \item ${u_n} = \sqrt {n + 1} $ 
  \item ${u_n} = \dfrac{{0,5}^n}{n}$% pour ${n\in{}\N^*}$.
\end{colenumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $u$ la suite définie sur $\N$ par : \[ u_n=2\times\left(-\frac{1}{2}\right)^n+3 \]
\begin{enumerate}
\item $u$ est-elle monotone ?
\item Pour tout entier $p$, on pose $v_p=u_{2p}$. Démontrer que $v$ est décroissante.
\item Pour tout entier $p$, on pose $w_p=u_{2p+1}$. Démontrer que $w$ est croissante.
\item Démontrer que pour tout entier $p$ : \[ v_p-w_p=\frac{3}{2^p} \]
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $u$ la suite définie par :
\[ \begin{dcases*}
u_0=0 \\
u_{n+1}=u_{n}+2n(-1)^n+n & Pour tout $n\in\N$
\end{dcases*} \]
\begin{enumerate}
\item Calculer les premiers termes de la suite. Que peut-on dire des variations de $u$ ?
\item Soit $v$ la suite définie sur $\N$ par $v_p=u_{2p}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$.
\item Pour tout entier $p$, exprimer $v_{p+1}$ en fonction de $v_p$.
\item Étudier les variations de $v$.
\end{enumerate}
\item Soit $w$ la suite définie sur $\N$ par $w_p=u_{2p+1}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $w_0$, $w_1$, $w_2$.
\item Pour tout entier $p$, exprimer $w_{p+1}$ en fonction de $w_p$.
\item Étudier les variations de $w$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{exercice}



\end{multicols}


\begin{multicols}{2}[\section{Suites arithmétiques et géométriques}]
\begin{exercice}
Pour chacune des suites définies sur $\N$ ci-dessous, dire si elle est arithmétique, géométrique ou ni l'un ni l'autre. On précisera, la cas échéant, la raison et le premier terme.
\begin{enumerate}[itemsep=2ex]
\item $u_n=n^2$ pour tout $n\in\N$

\item $u_n=\dfrac{n^2+3n+2}{n+2}$ pour tout $n\in\N$

\item 
$\begin{cases*}
u_0=2\\
u_{n+1}-u_n=\dfrac{3u_n}{4} & pour tout $n\in\N$
\end{cases*}$

\item $u_n=7\times2^{2n+1}$ pour tout $n\in\N$

\item
$\begin{cases*}
u_0=2\\
u_{n+1}=5u_n+5 & pour tout $n\in\N$
\end{cases*}$

\item
$\begin{cases*}
u_0=0\\
u_{n+1}=u_n^2-u_n+2 & pour tout $n\in\N$
\end{cases*}$

\item $u_n=\dfrac{6^{n+2}}{5^{n-1}}$ pour tout $n\in\N$

\item 
$\begin{cases*}
u_0=-1\\
u_{n+1}-3u_n=\dfrac{5-4u_n}{2} & pour tout $n\in\N$
\end{cases*}$

\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
On donne deux termes d'une suite arithmétique.

Donner le terme général de $u_n$ et calculer $u_4$.
\begin{enumerate}[itemsep=2ex]
  \item $u_5 = 4$    \qquad $u_{10} = 49$
  \item $u_6 = 17$   \qquad $u_{10} = 15$
  \item $u_{10} = 90$ \qquad $u_{100} = 99$
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
On donne deux termes d'une suite géométrique.

Donner le terme général de $u_n$ et calculer $u_4$.
\begin{enumerate}[itemsep=2ex]
\item $u_1 = - 4$ \qquad $u_2 = - 28$
\item $u_5 = \dfrac{1}{3}$ \qquad $u_7 = \dfrac{1}{27}$
\item $u_{10} = 8$ \qquad $u_8 = 2$
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Calculer chacune des sommes ci-dessous :
\begin{enumerate}[itemsep=2ex,label={$\Alph*=$},start=18]
\item $1+3+5+\dots + 31$

\item $2+4+8+16 + \dots + 4096$

\item $4+7+10+13+\dots+34$

\item $27+9+3+1+\dots+\dfrac{1}{143488907}$

\item $-3+9-27+81- \dots +6561-19683$
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $u$ la suite définie sur $\N$ par :
\[ \begin{cases*}
u_0=2\\
u_{n+1}=4u_n+9 & pour tout $n\in\N$
\end{cases*} \]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $u$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
\item Soit $v$ la suite définie par : \[ v_n=u_n+3,\qquad\text{pour tout $n\in\N$} \]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $v$ est une suite géométrique.
\item En déduire le terme général de $v$ puis celui de $u$.
\item Calculer la somme $S=u_0+u_1+u_2+\dots+u_{10}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{multicols}

\end{document}