\chapter{Polynômes du second degré}

\section{Rappels de seconde}

\begin{definition}
On appelle \motdef{fonction polynôme du second degré} toute fonction $f$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels fixés avec $a\neq0$.
\end{definition}

\begin{exemple}
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ définie par $f(x)=2x^2-5x+3$ est une fonction polynôme du second degré.
\item La fonction $g$ définie par $g(x)=3x-7$ n'est pas une fonction polynôme du second degré car le coefficient de $x^2$ est égal à $0$.
\item La fonction $h$ définie par $h(x)=(x+1)^3-x^3$ est une fonction polynôme du second degré car après développement, on obtient : $h(x)=3x^2+3x+1$.
\end{itemize}
\end{exemple}

\begin{theoreme}
Soit $f$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ une fonction polynôme du second degré.
Il existe des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout réel $x$ :
\[ f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta \]
Cette écriture est appelée \motdef{forme canonique} de $f$.
\end{theoreme}


\begin{exemple}
Donner la forme canonique des polynômes suivants : $f(x)=x^2-4x+7$ et $g(x)=2x^2+4x-8$
\end{exemple}

\begin{repex}
\begin{enumerate}[before=\relax,itemsep=2ex]
\item On remarque que $x^2-4x$ est le début du développement de $(x-2)^2$. 

En effet $(x-2)^2=x^2-4x+4$.

On fait donc apparaitre $x^2-4x+4$ dans l'expression de $f(x)$.

Pour tout $x$, $f(x)=x^2-4x+4+3=(x-2)^2+3$ qui est la forme canonique de $f$.

\item Pour tout $x$, $g(x)=2x^2+4x-8=2(x^2+2x-4)$.

On remarque que $x^2+2x$ est le début du développement de $(x+1)^2$.

En effet $(x+1)^2=x^2+2x+1$.

On fait donc apparaitre $x^2+2x+1$ dans l'expression de $g(x)$.

Pour tout $x$, $g(x)=2(x^2+2x-4)=2(x^2+2x+1-5)=2((x+1)^2-5)=2(x+1)^2-10$ qui est la forme canonique de $g$.
\end{enumerate}
\end{repex}


\section{Équation du second degré}
\begin{definition}
Soit $f$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ une fonction polynôme du second degré. On appelle \motdef{discriminant} de $f$ le réel, que l'on note souvent $\Delta$, défini par : $\Delta=b^2-4ac$.
\end{definition}

\begin{exemple}
Donner le discriminant des polynômes suivants : $f(x)=x^2-4x+7$ et $g(x)=2x^2+4x-8$
\end{exemple}

\begin{repex}
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item Pour $f$ :

$\Delta=(-4)^2-4 \times 1 \times 7 = 16-28=-8$

\item Pour $g$ :

$\Delta=4^2-4 \times 2 \times (-8) = 16+64=80$
\end{itemize}
\end{multicols}

\end{repex}


\begin{theoreme}
Soit $f$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ une fonction polynôme du second degré. 
Les racines de $f$ (c'est-à-dire les solutions de l'équation $f(x)=0$) peuvent être déterminée de la façon suivante :
\begin{itemize}[leftmargin=2em,series=itemth]
\item Si $\Delta<0$ alors $f$ n'a pas de racine réelle.
\item Si $\Delta=0$ alors $f$ admet une racine réelle : $-\dfrac{b}{2a}$.
\item Si $\Delta>0$ alors $f$ admet deux racines réelles : $\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
\end{itemize}
\end{theoreme}

\begin{exemple}
Résoudre les équations ci-dessous :
 \[(E_1):2x^{2}+4x+6=0 \quad \text{et} \quad (E_2):-x^{2}-3x+4=0\]
\end{exemple}

\begin{repex}
Pour $(E_1)$ : $\Delta=-32<0$ donc $(E_1)$ n'a pas de solution.

Pour $(E_2)$ : $\Delta=(-3)^{2}-4\times (-1)\times 4=9+16=25>0$ donc $(E_2)$ a deux solutions :
\[ x_{1}=\dfrac{-(-3)-\sqrt{25}}{2\times (-1)}=\dfrac{3-5}{-2}=1
\quad \text{et} \quad
x_{2}=\dfrac{-(-3)+\sqrt{25}}{2\times (-1)}=\dfrac{3+5}{-2}=-4 \]

\end{repex}


\section{Factorisation}
\begin{theoreme}
Soit $f$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ une fonction polynôme du second degré. 
\begin{itemize}[itemth]
\item Si $\Delta<0$ alors $f$ ne peut pas être factorisé.
\item Si $\Delta=0$ alors $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}$
\item Si $\Delta>0$ alors $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ où $x_{1}$ et $x_{2}$ sont les racines de $f$.
\end{itemize}
\end{theoreme}

\begin{exemple}
Factoriser $f$ et $g$ définis par :
 \[f(x)=2x^{2}+4x+6 \quad \text{et} \quad g(x)=-x^{2}-3x+4\]
\end{exemple}

\begin{repex}
Pour $f$ : $\Delta=-32<0$ donc $f$ ne peut pas se factoriser.

Pour $g$ : Les racines sont $1$ et $-4$ donc $g(x)=-(x-1)(x-(-4))=-(x-1)(x+4)$.
\end{repex}

\newpage
\section{Signe}
\begin{theoreme}
Soit $f$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ une fonction polynôme du second degré. 
\begin{itemize}[itemth,itemsep=3ex]
\item Si $\Delta<0$ alors
\hfill
\begin{tabular}[c]{|>{\centering}m{1.5cm}|ccc|} \hline
$x$ & $-\infty$ &  & $+\infty$ \\ \hline
Signe de $f(x)$ &  & Signe de $a$ & \\ \hline
\end{tabular}
\hspace{\stretch{2}}

\item Si $\Delta=0$ alors
\hfill
\begin{tabular}[c]{|>{\centering}m{1.5cm}|ccccc|} \hline
$x$ & $-\infty$ &  & $-\frac{b}{2a}$ &  & $+\infty$ \\ \hline
Signe de $f(x)$ &  & Signe de $a$ & $0$ & Signe de $a$ & \\ \hline
\end{tabular}
\hspace{\stretch{2}}

\item Si $\Delta>0$ alors
\hfill
\begin{tabular}[c]{|>{\centering}m{1.5cm}|ccccccc|} \hline
$x$ & $-\infty$ &  & $x_{1}$ &  & $x_{2}$ &  & $+\infty$ \\ \hline
Signe de $f(x)$ &  & Signe de $a$ & $0$ & Signe de $-a$ & $0$ & Signe de $a$ & \\ \hline
\end{tabular}
\hspace{\stretch{2}}

\vspace{1ex}
\hspace*{1cm}où $x_{1}$ et $x_{2}$ sont les racines de $f$ et $x_{1}<x_{2}$
\end{itemize}
\end{theoreme}

\begin{exemple}
Déterminer le tableau de signe de $f$ et $g$ définis par
 \[f(x)=2x^{2}+4x+6 \quad \text{et} \quad g(x)=-x^{2}-2x+1\]
\end{exemple}

\begin{repex}
Pour $f$ : $\Delta<0$ et le coefficient de $x^2$  est positif ($a=2$) donc :

\begin{center}
\begin{tabular}[c]{|>{\centering}m{1.5cm}|ccc|} \hline
$x$ & $-\infty$ &  & $+\infty$ \\ \hline
Signe de $f(x)$ &  & + & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Pour $g$ : Les racines sont $-4$ et $1$ et le coefficient de $x^2$ est négatif ($a=-1$) donc :

\vspace{1ex}
\begin{center}
\begin{tabular}[c]{|>{\centering}m{1.5cm}|ccccccc|} \hline
$x$ & $-\infty$ &  & $-4$ &  & $1$ &  & $+\infty$ \\ \hline
Signe de $g(x)$ &  & $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{repex}

\section{Représentation graphique}
\begin{theoreme}
Soit $f$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ une fonction polynôme du second degré. 

La représentation graphique de $f$ dans un repère $(O;I;J)$  du plan est une parabole de sommet $S\left(-\frac{b}{2a};f(-\frac{b}{2a})\right)$.
\end{theoreme}

On résumer tout ce qui précède dans le tableau ci-dessous :
\begin{center}\small
 \begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{1.9cm}|*{2}{>{\centering\arraybackslash}m{4.8cm}|}>{\centering\arraybackslash}m{4.2cm}|}
   \hline
    Discriminant & $\Delta >0$ & $\Delta =0$ & $\Delta <0$  \\
   \hline
   Factorisation de $f(x)$ & $a(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})$ & $a(x-\alpha)^{2}$ &
   pas de factorisation  \\
   \hline
   Équation $f(x)=0$ & $2$ solutions $\alpha_{1}$ et $\alpha_{2}$ & une solution $\alpha$ & pas de solution\\ \hline
   $a>0$ & \includegraphics{CoursSecondDegFigures.1} & \includegraphics{CoursSecondDegFigures.2}
   & \includegraphics{CoursSecondDegFigures.3} \\
   \hline
   $a<0$ & \includegraphics{CoursSecondDegFigures.4} & \includegraphics{CoursSecondDegFigures.5} &  \includegraphics{CoursSecondDegFigures.6} \\
   \hline
   Signe &\rule{0pt}{0pt}\par{\footnotesize
   \begin{tabular}{|c|m{0.7cm}@{ }c@{ }m{0.9cm}@{ }c@{ }m{0.7cm}|} \hline
   $x$ &   & $\alpha_{1}$ &  & $\alpha_{2}$ &   \\ \hline
   $f(x)$   & Signe de $a$ & 0 & Signe de $-a$ & 0 & Signe de $a$  \\ \hline
   \end{tabular}}\par
    &\rule{0pt}{0pt}\par{\footnotesize
       \begin{tabular}{|c|>{\centering\arraybackslash}m{1cm}@{ }c@{ }>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|} \hline
       $x$ &   & $\alpha$ &     \\ \hline
       $f(x)$   & Signe de $a$ & 0  & Signe de $a$  \\ \hline
       \end{tabular}}\par
     &\rule{0pt}{0pt}\par{\footnotesize
        \begin{tabular}{|c|>{\centering\arraybackslash}m{2cm}|} \hline
        $x$ &      \\ \hline
        $f(x)$   & Signe\par de $a$   \\ \hline
        \end{tabular}}\par \\
       \hline
  \end{tabular}
\end{center}


