\documentclass[11pt,twoside]{article}


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  \usepackage[%
              pdftitle={Devoir de première S sur le second degré},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}


\begin{document}
 \titre{Second degré}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Corr}{2}
 \duree{1 heure}
 \date{29 septembre 2016}

\begin{empfile}

 \begin{empcmds}
    input latexmp;
    input repere;
    
 \end{empcmds}

\affichetitre

 \abovedisplayskip=0.5ex
 \belowdisplayskip=0.5ex



Ci-dessous quelques pistes pour la correction. Attention, tous les calculs ne sont pas faits. Les résolutions des équations du second degré, en particulier, sont laissées au soin du lecteur...

\bigskip

\begin{exercice}
 \[P(x)=-9x^2+36x+85\]

\begin{enumerate}
\item Racines de $P$ : $\Delta = 4356 $. Les racines sont $-\dfrac{5}{3}$ et $\dfrac{17}{3}$.

Factorisation : $P(x)=-9\left(x+\dfrac{5}{3}\right)\left(x-\dfrac{17}{3}\right)$

Signe de $P(x)$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2,
            lgt=1.7,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe\\
de $f(x)$ /1
}
{$-\infty$,$-\frac{5}{3}$,$\frac{17}{3}$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,-,z,+,z,-, }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Forme canonique de $P(x)$ : Le maximum est obtenu pour $x=\dfrac{-36}{2\times (-9)}=2$ et $f\left(2\right)=\dots=121$

On a donc : $f(x)=-9\left(x-2\right)^2+121$

Variations de $P$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=3,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Variations\\
de $f$ /1.7
}
{$-\infty$,$2$,$+\infty$}

\tkzTabVar{-/,+/$121$,-/ }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La représentation graphique de $P$ doit ressembler à une parabole, couper l'axe des abscisses en $-\dfrac{5}{3}$ et $\dfrac{17}{3}$, l'axe des ordonnées en $85$, doit admettre un maximum égal à $121$ atteint en $x=2$...
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
$(E_1):3 x^3-12 x^2-15 x=0$

$(E_1)\Leftrightarrow x(3 x^2-12 x-15)=0\Leftrightarrow 
\left\lvert\begin{aligned}
&x=0\\
&\text{ou}\\
&3 x^2-12 x-15=0
\end{aligned}\right.
\Leftrightarrow \ldots \text{ Calcul de }\Delta\text{ etc. } \ldots\Leftrightarrow
\left\lvert\begin{aligned}
&x=0\\
&\text{ou}\\
&x=-1\text{ ou }x=5
\end{aligned}\right.
$

Ainsi : \fbox{$\cals_1=\left\{0;-1;5\right\}$}

\bigskip
\bigskip
$(E_2): 6x^4+22x^2-8=0$

$(E_{2}) \Leftrightarrow \sysd{&X=x^{2}}{&6X^{2}+22X-8=0}$

Après calculs (discriminant, etc.), on obtient les solutions de $6X^{2}+22X-8=0$ : $-4$ et $\dfrac{1}{3}$.

Ainsi :
$(E_{2}) \Leftrightarrow \sysd{&X=x^{2}}{&X=-4 \text{ ou } X=\dfrac{1}{3}} \quad \Leftrightarrow \quad x^{2}=-4 \text{ ou } x^{2}=\dfrac{1}{3} \quad \Leftrightarrow \quad x=-\sqrt{\dfrac{1}{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \text{ ou } x=\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

On a donc : \fbox{$\cals_{2}=\left\lbrace-\dfrac{\sqrt{3}}{3} ;\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right\rbrace $}

\bigskip
\bigskip

$(I):x-2 \leqslant \dfrac{4}{x+1}$

$(I)\Leftrightarrow x-2 - \dfrac{4}{x+1} \leqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{(x-2)(x+1)-4}{x+1}\leqslant0 \Leftrightarrow \dfrac{x^2-x-6}{x+1}\leqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{g(x)}\leqslant0$ avec $\sysd{&f(x)=x^2-x-6}{&g(x)=x+1}$

Il suffit donc d'étudier le signe de $f$ et $g$.

\begin{itemize}
\item D'une part $g$ est une fonction affine de coefficient directeur positif et qui s'annule en $-1$.

\item D'autre part $f$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est positif et qui s'annule (calculs à faire) en $-2$
et $3$
\end{itemize}

On peut donc construire le tableau :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2,
            lgt=3,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe\\
de $f(x)$ /1,
Signe\\
de $g(x)$ /1,
Signe\\
de $\frac{f(x)}{g(x)}$ /1
}
{$-\infty$,$-2$,$-1$,$3$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,+,z,-,t,-,z,+, }
\tkzTabLine{ ,-,t,-,z,+,t,+, }
\tkzTabLine{ ,-,z,+,d,-,z,+, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Conclusion : \fbox{$\cals=\intervalleOF{-\infty}{-2} \cup \intervalleOF{-1}{3}$}

\end{exercice}


\begin{exercice}
$f(x)=x^2+2mx+m^2-2m$
\begin{enumerate}
\item $1$ est racine de $f$ $\Leftrightarrow f(1)=0 \Leftrightarrow 1+2m+m^2-2m=0 \Leftrightarrow m^2+1=0$, équation qui n'a pas de solution.

Conclusion : \fbox{$1$ ne peut pas être racine de $f$.}

\item $\Delta = (2m)^2 -4\times1\times (m^2-2m)=4m^2-4m^2+8m=\boxed{8m}$.

\item $f$ admet deux racines $\Leftrightarrow \Delta >0 \Leftrightarrow 8m>0 \Leftrightarrow m>0$.

Conclusion : \fbox{$f$ admet deux racines pour $m>0$.}

\item Pour tout réel $x$, $f(x)=x^2+2mx+m^2-2m=(x+m)^2-2m$.

$f$ admet donc \fbox{l'extremum $-2m$ obtenu pour $x=-m$.} Il s'agit d'un minimum car le coefficient de $x^2$ est positif.



\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item En raisonnant sur les coefficients de $x^2$ et l'orientation des courbes, on peut dire que $P_1$, $P_2$ et $P_6$ correspondent à $\calc_2$, $\calc_5$ et $\calc_6$ et que $P_3$, $P_4$ et $P_5$ correspondent à $\calc_1$, $\calc_3$ et $\calc_4$.
\end{itemize}

\medskip
Pour celles qui ont le coefficient positif :

\begin{itemize}[resume*]

\item Le discriminant de $P_3$ est $0$ donc $P_3$ admet une unique racine. \fbox{La courbe représentant $P_3$ est donc $\calc_4$.}

\item Le discriminant de $P_4$ est $\frac{49}{9}>0$ donc $P_4$ admet deux racines. \fbox{La courbe représentant $P_4$ est donc $\calc_1$.}

\item Le discriminant de $P_5$ est $-8<0$ donc $P_5$ n'a pas de racine. \fbox{La courbe représentant $P_5$ est donc $\calc_3$.}

\end{itemize}

\medskip
Pour celles qui ont le coefficient négatif :

\begin{itemize}[resume*]
\item  Le discriminant de $P_6$ est $-8<0$ donc $P_6$ n'a pas de racine. \fbox{La courbe représentant $P_6$ est donc $\calc_2$.}

\item L'abscisse du sommet de la parabole représentant $P_1$ est $\frac{-1}{2\times(-1)}=\frac{1}{2}$, l'abscisse du sommet de la parabole représentant $P_2$ est $\frac{-(-1)}{2\times(-1)}=-\frac{1}{2}$.

\fbox{La courbe représentant $P_1$ est donc $\calc_6$} et \fbox{la courbe représentant $P_2$ est $\calc_5$.}


\end{itemize}
\end{exercice}



\end{empfile}
\end{document}

