\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}

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              unicode,%
              pdftitle={Exercices d'entrainement sur les probabilités},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}

\begin{document}
 \titre{Probabilités}
 \classe{\prems}
 \typedoc*{Entrainement}{8}
 \date{}
 
\affichetitre

\vspace{-\baselineskip}
\begin{multicols}{2}[\section{Variables aléatoires}]

\begin{exercice}
    Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de passages à
    l’infirmerie dans un lycée dans une journée.

    \begin{center}
      \begin{tabular}{|c*4{|c}|}
        \hline
        \cellcolor{LFBcoultable1}$x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3\\\hline
        \cellcolor{LFBcoultable1}$P(X = x_i)$ & 0,35 & 0,3 & 0,25 & $b$\\\hline
      \end{tabular}
    \end{center}
    \begin{enumerate}
    \item Calculer le réel $b$.
    \item Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux passages à
      l’infirmerie dans la journée.
    \end{enumerate}
  \end{exercice}

  \begin{exercice}
    Julie lance trois pièces équilibrées de 5, 10 et 20
    centimes. Chaque coté «face» obtenu lui fait gagner la valeur de
    la pièce.
    \begin{enumerate}
    \item À l’aide d’un arbre, déterminer toutes les issues de cette
      expérience aléatoire.
    \item On note $X$ la variable aléatoire donnant la somme totale
      gagnée en centimes.
      \begin{enumerate}
      \item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
      \item Calculer $P(X < 50)$.
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
  \end{exercice}
  
  \begin{exercice}
  Une urne contient 5 boules marquées 1 point et $n$ boules marquées 3 points.
  
  On tire au hasard une boule dans l’urne et note $X$ la variable
  aléatoire qui donne le score obtenu.
  
  On sait que $E(X)=\dfrac{13}{6}$.
  
  Calculer $n$.
  \end{exercice}
  
\begin{exercice}
Dans une fête foraine, pour une mise initiale de 3\,\euro, le joueur est invité à lancer deux dés équilibrés à six faces numérotées de 1 à 6.
\begin{itemize}
\item Si le résultat est un \og double \fg{}, le joueur empoche le montant en euros égal à la somme des points obtenus.
\item Si un seul 6 apparaît, le joueur gagne le montant en euros indiqué sur l'autre dé.
\item Dans les autres cas, la partie est perdue.
\end{itemize}
On désigne par $G$ la variable aléatoire définie par le \og gain \fg{} du joueur (gain qui peut être négatif).
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $G$.
\item Calculer l'espérance mathématique de $G$.
\item Le jeu est-il équitable ?
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}

Un enfant a débouché 3 stylos, un bleu, un rouge et un vert. Il remet les bouchons au hasard.

\begin{enumerate}

 \item Combien de possibilités a-t-il ?

 \item On désigne par $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de stylos correctement rebouchés.

 \begin{enumerate}

  \item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?

  \item Déterminer la loi de probabilité de $X$.

  \item Calculer $E(X)$.

 \end{enumerate}


\end{enumerate}


\end{exercice}

\begin{exercice}
On propose le jeu suivant : un joueur mise 3\,\euro{} puis tire un ticket dans une urne qui contient 5\% de tickets portant le numéro 15, 10\% de tickets portant le numéro 10, 20\% de tickets portant le numéro 5 et le reste portant la mention \og perdu \fg.
\begin{itemize}
\item Si le ticket porte le numéro 15, il gagne 15\,\euro.
\item Si le ticket porte le numéro 10, il gagne 10\,\euro.
\item Si le ticket porte le numéro 5, il gagne 5\,\euro.
\item Si le ticket porte la mention \og perdu \fg, il ne gagne rien.
\end{itemize}
On appelle $X$ la variable aléatoire définie par le gain du joueur.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
\item Le jeu est-il équitable ?
\item Par quelle valeur doit-on remplacer le gain de 15\,\euro{} pour que le jeu soit équitable ?
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Dans une urne on dispose de cinq boules indiscernables au toucher : trois vertes numérotées de 1 à 3 et deux rouges numérotées 4 et 6.

Règle du jeu :  La partie consiste à tirer successivement deux boules au
hasard, en remettant la première boule dans l'urne pour le second
tirage. Si les deux boules tirées sont de même couleur, la partie
est perdue. Sinon, le joueur remporte le montant en euros égal au
nombre formé en prenant le chiffre de la boule verte pour les dizaines
et celui de la boule rouge pour les unités (ainsi le tirage vert 2 et
rouge 4 remporte 24 \euro).  Soit $X$ la variable aléatoire
représentant le gain du joueur.

\begin{enumerate}
\item  
\begin{enumerate}
\item Donner la loi de probabilité de la variable $X$ et son espérance.
\item On souhaite rendre le jeu équitable. Pour cela on fait payer la
  partie $a$ \euro. Quelle valeur choisir pour $a$ ?
\end{enumerate}
\item On suppose dans la suite que la mise est égale à la valeur trouvée précédemment.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement $A$ : \og Le joueur réalise un gain strictement positif \fg
\item Le joueur fait $5$ parties de suite. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une fois ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{exercice}



\end{multicols}


\begin{multicols}{2}[\section{Arbres pondérés}]
\begin{exercice}
On considère un dé cubique équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges.

Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On note à chaque lancer la couleur de la face obtenue.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre suivant représentant la situation.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);
draw tree[1][1](2cm,2.5cm)("$V$","$\frac{1}{6}$","$N$","$\cdots$","$R$","$\cdots$");
draw tree[2][1](1.5cm,1cm)("$V$","$\cdots$","$N$","$\cdots$","$R$","$\cdots$");
endfig;
\end{mplibcode}
\end{center}

\item Calculer la probabilité pour qu'à la fin du jeu, les deux faces obtenues soient noires.
\item Soit l'événement $A$ : \og \`A la fin du jeu, les deux faces obtenues sont de la même couleur \fg.

Démontrer que la probabilité de l'événement $A$ est égale à $\dfrac{7}{18}$.
\item Calculer la probabilité pour qu'à la fin du jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs différentes.

\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}Chaque jour, Natacha et Ben tirent au sort pour savoir qui va faire la vaisselle.

Pour cela, ils lancent une pièce :
\begin{itemize}
	\item si le résultat est \og Pile \fg{}, Natacha fait la vaisselle ;
	\item sinon, c'est Ben qui fait la vaisselle.
\end{itemize}
Natacha a fourni la pièce en question : cette dernière est truquée, elle a une probabilité de $\dfrac{2}{3}$ de tomber sur \og Face \fg{}.

On s'intéresse à la répartition des tours de vaisselle durant quatre jours.
\begin{enumerate}
    \item Expliquer pourquoi l'on peut considérer que chaque lancer de pièce est indépendant du précédent.
	\item On a tracé le début de l'arbre représentant la situation ci-dessous. Le recopier et le compléter pour qu'il représente la situation sur les quatre jours.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);
draw tree[1][1](2cm,2cm)("$N$","$\cdots$","$B$","$\cdots$");
draw tree[2][1](2cm,1cm)("$N$","$\cdots$","$B$","$\cdots$");
endfig;
\end{mplibcode}

\end{center}
	\item Déterminer la probabilité que seule Natacha ait fait la vaisselle durant ces quatre jours.	
	\item Déterminer la probabilité qu'il y ait eu une juste répartition des tâches durant ces quatre jours.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}%[\og C'est la faute du bus \fg{}]

Le bus que Laure doit emprunter pour se rendre au lycée doit passer par deux feux.

Chacun de ces feux fonctionne de la manière suivante, chaque minute, il reste :
\begin{itemize}
	\item $36$ secondes au vert ;
	\item $3$ secondes à l'orange ;
	\item $21$ secondes au rouge.
\end{itemize}
On suppose que les deux feux fonctionnent de manière indépendante.
\begin{enumerate}
	\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
	\item Quelle est la probabilité que le bus rencontre deux feux verts ?	
	\item Quelle est la probabilité que les deux feux rencontrés soient de la même couleur ?	
	\item On suppose que le bus s'arrête systématiquement lorsque le feu passe à l'orange.

 Quelle est la probabilité qu'il soit obligé de s'arrêter au moins une fois ?	
	\item  \`A chaque feu rouge ou orange, lorsque le bus  s'arrête, cela lui fait perdre $20$ secondes.
\begin{enumerate}
  \item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ donnant le temps perdu à ces deux feux.
  \item En moyenne, combien de temps Laure perd-elle à cause des feux ?
\end{enumerate}	
	
\end{enumerate}


\end{exercice}

\end{multicols}

\end{document}