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              pdftitle={Exercices sur le calcul algébrique},%
              pdfauthor={O. Péault},%
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\newenvironment{encadre}[1][white]{%
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                         }

\begin{document}
 \titre{Équations et inéquations}
 \classe{\scd}
 \typedoc{Fiche méthode}{}
% \duree{1 heure}
 \date{février 2016}


\affichetitre


\section{Méthode de résolutions d'équations et inéquations}

\subsection{On identifie le type de problème}


\begin{encadre}[LFBcoultheo]
\begin{multicols}{2}
\begin{description}
\item[E1]  Équation du premier degré.
\item[E2]  Équation de degré supérieur ou égal à 2.
\item[EQ]  Équation quotient.
\item[I1]  Inéquation du premier degré.
\item[I2]  Inéquation de degré supérieur ou égal à 2.
\item[IQ]  Inéquation quotient.
\end{description}
\end{multicols}
\end{encadre}%

\subsection{On résout le problème en suivant les étapes ci-dessous}

\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[itemsep=\baselineskip,leftmargin=*]
\item Équation du premier degré.
\begin{encadre}
  \begin{enumerate}[label=\textbf{E1\alph*},align=left]
  \item On développe au maximum les différentes expressions.
  \item On \og isole \fg l'inconnue dans l'un des membres et les constantes dans l'autre.
  \item On conclut.
  \end{enumerate}
\end{encadre}%
  
\item Équation de degré supérieur ou égal à 2.
\begin{encadre}
  \begin{enumerate}[label=\textbf{E2\alph*},align=left]
  \item On transpose tout dans un membre pour se ramener à une équation du type $E(x)=0$.
  \item On factorise au maximum l'expression $E(x)$.
  \item On utilise le fait qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
  \item On résout chacune des équations obtenues.
  \item On conclut.
  \end{enumerate}
\end{encadre}%
  
  
\item Équation quotient.
\begin{encadre}
  \begin{enumerate}[label=\textbf{EQ\alph*},align=left]
  \item On cherche le domaine de résolution en excluant les valeurs pour lesquelles un des dénominateur s'annule.
  \item On transforme l'équation en multipliant par des expression bien choisies pour se ramener à une équation sans quotient.
  \item On utilise une des méthodes précédentes pour résoudre l'équation.
  \item On conclut en prenant en compte le domaine de résolution.
  \end{enumerate}
\end{encadre}%
  
  
\item Inéquation du premier degré.
\begin{encadre}
  \begin{enumerate}[label=\textbf{I1\alph*},align=left]
  \item On développe au maximum les différentes expressions.
  \item On \og isole \fg l'inconnue dans l'un des membres et les constantes dans l'autre.
  \item On conclut.
  \end{enumerate}
\end{encadre}%
  
\item Inéquation de degré supérieur ou égal à 2.
\begin{encadre}
  \begin{enumerate}[label=\textbf{I2\alph*},align=left]
  \item On transpose tout dans un membre pour se ramener à une équation du type $I(x)<0$ ou $I(x)\geqslant0$ ou \dots
  \item On factorise au maximum l'expression $I(x)$.
  \item On construit le tableau de signes de l'expression $I(x)$.
  \item On conclut.
  \end{enumerate}
\end{encadre}%
  
  
\item Inéquation quotient.
\begin{encadre}
  \begin{enumerate}[label=\textbf{IQ\alph*},align=left]
  \item On transpose tout dans un membre pour se ramener à une équation du type $I(x)<0$ ou $I(x)\geqslant0$ ou \dots
  \item On met au même dénominateur l'expression $I(x)$.
  \item On factorise au maximum le numérateur et le dénominateur de $I(x)$.
  \item On construit le tableau de signes de l'expression $I(x)$.
  \item On conclut.
  \end{enumerate}
\end{encadre}%
  
  
\end{enumerate}
\end{multicols}



\section{Exemples}

\begin{multicols}{2}
\subsection{Exemple 1}
\vspace{-\baselineskip}
\hrulefill
\subsubsection*{Énoncé}
Résoudre $A:(3x-7)(-2x-1)=(3x-7)(x-5)$

\subsubsection*{Solution}
Il s'agit d'une équation du second degré \textbf{E2}.
  \begin{enumerate}[label=\textbf{E2\alph*},align=left]
  \item $A\Leftrightarrow(3x-7)(-2x-1)-(3x-7)(x-5)=0$
  \item $\phantom{A}\Leftrightarrow(3x-7)((-2x-1)-(x-5))=0$\par
        $\phantom{A}\Leftrightarrow(3x-7)(-3x+4)=0$
  \item $\phantom{A}\Leftrightarrow 3x-7=0\text{ ou }-3x+4=0$
  \item $\phantom{A}\Leftrightarrow 3x=7\text{ ou }-3x=-4$\par
        $\phantom{A}\Leftrightarrow x=\frac{7}{3}\text{ ou }x=\frac{4}{3}$
  \item \fbox{$\cals_A=\left\{\frac{7}{3};\frac{4}{3}\right\}$}
  \end{enumerate}

\vfill

\subsection{Exemple 2}

\vspace{-\baselineskip}
\hrulefill
\subsubsection*{Énoncé}
Résoudre $B:\dfrac{(2x-4)^2}{x(x-4)}=\dfrac{x}{x-4}$

\subsubsection*{Solution}
Il s'agit d'une équation quotient \textbf{EQ}.


  \begin{enumerate}[label=\textbf{EQ\alph*},align=left]
  \item $x(x-4)\Leftrightarrow x=0\text{ ou }x-4=0$\par 
        $\phantom{x(x-4)}\Leftrightarrow x=0\text{ ou }x=4$
  
  Le domaine de résolution de $B$ est donc $\cald=\R\setminus\left\{0;4\right\}$
  
  Sur $\cald$, on a :
  
  \item $B\Leftrightarrow \dfrac{(2x-4)^2}{x}=x$ \quad (on mult. par $x-4$)\par
        $\phantom{B}\Leftrightarrow (2x-4)^2=x^2$ \quad (on multiplie par $x$)
  \item $\phantom{B}\Leftrightarrow (2x-4)^2-x^2=0$ \hfill (E2a)\par
        $\phantom{B}\Leftrightarrow (2x-4-x)(2x-4+x)=0$ \hfill (E2b)\par
        $\phantom{B}\Leftrightarrow (x-4)(3x-4)=0$\par
        $\phantom{B}\Leftrightarrow x-4=0\text{ ou } 3x-4=0$ \hfill (E2c)\par
        $\phantom{B}\Leftrightarrow x=4\text{ ou } x=\frac{4}{3}$ \hfill (E2d)
  \item \fbox{$\cals_B=\left\{\frac{4}{3}\right\}$} \quad car $4$ n'est pas dans $\cald$.
  \end{enumerate}

\vfill
%\columnbreak

\subsection{Exemple 3}
\vspace{-\baselineskip}
\hrulefill
\subsubsection*{Énoncé}
Résoudre $C:2x(x-7)>(x+2)(2x-3)$

\subsubsection*{Solution}
Il s'agit d'une inéquation du premier degré \textbf{I1}.
  \begin{enumerate}[label=\textbf{I1\alph*},align=left]
  \item $C\Leftrightarrow 2x^2-14x>2x^2-3x+4x-6$\par
        $\phantom{C}\Leftrightarrow 2x^2-14x>2x^2+x-6$
  \item $\phantom{C}\Leftrightarrow -14x-x>6$\par
        $\phantom{C}\Leftrightarrow -15x>6$\par
        $\phantom{C}\Leftrightarrow x<\frac{6}{-15}$ \quad car $-15<0$\par
        $\phantom{C}\Leftrightarrow x<-\frac{2}{5}$
  \item \fbox{$\cals_C=\intervalleOO{-\infty}{-\frac{2}{5}}$}
  \end{enumerate}

\vfill



\subsection{Exemple 4}
\vspace{-\baselineskip}
\hrulefill
\subsubsection*{Énoncé}
Résoudre $D:\dfrac{-2x^2}{x-3}+x\leqslant 0$

\subsubsection*{Solution}
Il s'agit d'une inéquation quotient \textbf{IQ}.
  \begin{enumerate}[label=\textbf{IQ\alph*},align=left]
  \item Déjà fait
  \item $D\Leftrightarrow \dfrac{-2x^2}{x-3}+\dfrac{x(x-3)}{x-3}\leqslant 0$\par
        $\phantom{D}\Leftrightarrow \dfrac{-2x^2+x(x-3)}{x-3}\leqslant 0$
  \item $\phantom{D}\Leftrightarrow \dfrac{x(-2x+(x-3))}{x-3}\leqslant 0$\par
        $\phantom{D}\Leftrightarrow \dfrac{x(-x-3)}{x-3}\leqslant 0$
  \item 
  \end{enumerate}
    {\centering
  \footnotesize
  \begin{tikzpicture}
  \tikzset{t style/.style = dashed}
  \tkzTabInit[color,
              colorC=LFBcoultable1,
              colorV=LFBcoultable1,
              espcl=1.2,
              lgt=2.5,
              deltacl=0.35]
  {$x$ /0.8,
  Signe de $x$ /0.5,
  Signe de $-x-3$ /0.5,
  Signe de $x-3$ /0.5,
  Signe de $\frac{x(-x-3)}{x-3}$ /0.75
  }
  {$-\infty$,$-3$,$0$,$3$,$+\infty$}
  
  \tkzTabLine{ ,-,t,-,z,+,t,+, }
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  \end{tikzpicture}
  \par}
  \begin{enumerate}[resume*]
    \item \fbox{$\cals_D=\intervalleFF{-3}{0}\cup\intervalleOO{3}{+\infty}$}
  \end{enumerate}

\vfill
\end{multicols}

\end{document}
