
\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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              unicode,%
              pdftitle={Interrogation de troisième - Homothéties},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}

\newboolean{solution}

 \newsavebox{\boiterep}
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             {\Large\par\begin{lrbox}{\boiterep}
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              }%
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                            {}%
               }
               
\newcommand{\rep}[1]{\ifthenelse{\boolean{solution}}{{\large\color{blue}\itshape #1}}{}}

\setboolean{solution}{true}


\begin{document}
 \titre{Homothéties}
 \classe{\trois}
 \typedoc{Interrogation}{3}
 \date{10 novembre 2017}
% \duree{1 heure}
 
\affichetitre


\begin{exercice}
On considère la figure ci-dessous dans laquelle $KA=6,5$, $KJ=11,7$, $KM=9,5$ et $KS=17,1$.

\begin{center}
 \begin{mplibcode}
u:=0.7cm;
repere(-7,1,u,-2,6,u);
 marque_p:="";
 pair S,J,A,M,K;
 K=(0,0);A=(-3,2);M=(-5,0);
 J=1.2A;S=1.2M;
 draw M--K--J--S--M--A;
 nomme.urt(A);
 nomme.lrt(K);
 nomme.top(J);
 nomme.llft(S);
 nomme.bot(M);
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}

Les droites $(AM)$ et $(JS)$ sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.

\end{exercice}

\begin{corr}

\begin{itemize}[itemsep=\baselineskip]
\item 1\iere{} étape : On calcule (et on simplifie)

\medskip

$\dfrac{KA}{KJ}=\dfrac{6,5}{11,7}=\dfrac{65}{117}=\dfrac{5}{9}$ \quad et  \quad
$\dfrac{KM}{KS}=\dfrac{9,5}{17,1}=\dfrac{95}{171}=\dfrac{5}{9}$

\item 2\ieme{} étape : On rédige

\medskip

$\left\{
\begin{aligned}
& (JA) \text{ et } (SM) \text{ sont sécantes en }K \\
& K \text{, }A \text{, }J \text{ et } K \text{, }M \text{, }S \text{ sont dans le même ordre} \\
& \dfrac{KA}{KJ}=\dfrac{KM}{KS}
\end{aligned}
\right.$
\hfill (Données)

\medskip
donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès,\hfill (Propriété)

\medskip
les droites $(AM)$ et $(JS)$ sont parallèles.\hfill (Conclusion)
\end{itemize}


\end{corr}


\newpage
\begin{exercice}
Sur la figure ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(GF)$ sont parallèles.

On sait de plus que $AB=\SI{3}{cm}$, $AE=\SI{5,87}{cm}$, $AC=\SI{4}{cm}$, $AD=\SI{4,4}{cm}$, $BC=\SI{4,5}{cm}$ et $AF=\SI{3,6}{cm}$.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
u:=0.4cm;
repere(-6,7,u,-7,4,u);
 marque_p:="";
 pair A,B,C,D,E,F,G;
 A=(0,0);B=(4,-3);C=(-3,-4);
 D=(4.4/3)*B;G=-0.9B;
 E=(5.87/4)*C;F=-0.9C;
 draw droite(E,F);
 draw droite(D,G);
 draw droite(F,G);
 draw droite(B,C);
 draw droite(E,D);
 nomme.lft(A);nomme.top(B);
 nomme.ulft(C);nomme.bot(D);
 nomme.lrt(E);nomme.lrt(F);
 nomme.urt(G);
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur $GF$.
\item Les droites $(BC)$ et $(ED)$ sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}


\begin{corr}
\begin{enumerate}[itemsep=\baselineskip]
\item\begin{itemize}[itemsep=\baselineskip]
\item 1\iere{} étape : On rédige

\medskip
$\left\{
\begin{aligned}
& (BG) \text{ et } (CF) \text{ sont sécantes en }A \\
& (BC)  \text{ et } (GF) \text{ sont parallèles}
\end{aligned}
\right.$
\hfill (Données)

\medskip

donc, d'après le théorème de Thalès \hfill (Propriété)

\medskip

$\dfrac{AB}{AG}=\dfrac{AC}{AF}=\dfrac{BC}{GF}$ \hfill (Conclusion)

\item 2\ieme{} étape : On calcule

En remplaçant les valeurs dans l'égalité précédente, on obtient :

$\dfrac{3}{AG}=\dfrac{4}{3,6}=\dfrac{4,5}{GF}$. On en déduit : $GF=\dfrac{3,6\times 4,5}{4}=4,05$

\end{itemize}

\item 
\begin{itemize}[itemsep=\baselineskip]
\item 1\iere{} étape : On calcule (et on simplifie)

\medskip

$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{5,87}{4}=\dfrac{587}{400}$ \quad et  \quad
$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4,4}{3}=\dfrac{44}{30}=\dfrac{22}{15}$

\item 2\ieme{} étape : On rédige

\medskip

$\left\{
\begin{aligned}
& (CE) \text{ et } (BD) \text{ sont sécantes en }A \\
& \dfrac{AE}{AC}\neq\dfrac{AD}{AB}
\end{aligned}
\right.$
\hfill (Données)

\medskip
donc, d'après le théorème de Thalès (contraposée),\hfill (Propriété)

\medskip
les droites $(BC)$ et $(ED)$ ne sont pas parallèles.\hfill (Conclusion)
\end{itemize}


\end{enumerate}
\end{corr}

\end{exercice}




\end{document}
