\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}

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  \usepackage[%
              unicode,%
              pdftitle={Interrogation de première S sur le second degré},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}


\begin{document}
 \titre{Second degré}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Int}{1}
 \date{18 septembre 2018}
 \duree{Éléments de correction}
 
\affichetitre

\everymplib{verbatimtex \leavevmode etex;
            input repere;}

\begin{exercice}
Soit $P$ le polynôme défini par : \[ P(x)=-3 x^2-7 x+20 \]
Donner, \textbf{en justifiant}, les racines de $P$, une factorisation de $P(x)$, la forme canonique de $P(x)$, le signe de $P(x)$ en fonction de $x$ et l'allure de la représentation graphique de $P$ dans un repère orthonormal.




\hfill\hrulefill\hspace{\stretch{1}}

\begin{center}
\textbf{Corrigé}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Racines :

$\Delta=(-7)^2-4\times(-3)\times20=289>0$.

$P$ admet donc deux racines qui sont : $x_1=\dfrac{7+\sqrt{289}}{2\times(-3)}=-4$ et $x_2=\dfrac{7-\sqrt{289}}{2\times(-3)}=\dfrac{5}{3}$

\item Factorisation :

Pour tout réel $x$, $P(x)=-3(x+4)\left(x-\frac{5}{3}\right)$.

\item Forme canonique :

$P$ admet un extremum (c'est d'ailleurs un maximum) en $x=\dfrac{-(-7)}{2\times(-3)}=\dfrac{-7}{6}$.

Ce maximum est $P\left(-\dfrac{7}{6}\right)=\dots = \dfrac{289}{12}$

On en déduit : pour tout réel $x$, $P(x)=-3\left(x+\frac{7}{6}\right)^2+\frac{289}{12}$

\item Signe :

On connait les racines et le coefficient de $x^2$ ($-3$, qui est négatif), on en déduit le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe\\
de $P(x)$  /1.5
}
{$-\infty$,$-4$,$\frac{5}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
\end{tikzpicture}

\end{center}

\item Courbe :

La courbe représentant $P$ est une parabole dont l'allure est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
u:=1cm;
repere(-2.5,1.5,u,-2,2,u);
 path C_f;
 draw axes(0,0);
 vardef f(expr x)=-(x**2)-1.5*x+1 enddef;
 C_f=courbefonc(f,-2.5,1);
 draw C_f withpen pencircle scaled 1;
 draw projectionaxes((-0.75,f(-0.75)),LaTeX("$-\frac{7}{6}$"),LaTeX("$\frac{289}{12}$")) dashed evenly;
 label.ulft(LaTeX("$-4$"),(-2,0));
 label.urt(LaTeX("$\frac{5}{3}$"),(0.5,0));
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\newpage

\begin{exercice}
Résoudre l'inéquation suivante :
\[ (I) : \dfrac{-x^{2}+5x+3}{2x-1}\leqslant 1 \]

\end{exercice}

\hfill\hrulefill\hspace{\stretch{1}}

\begin{center}
\textbf{Corrigé}
\end{center}


 
\[ 
\begin{aligned}
(I)&\Leftrightarrow \dfrac{-x^{2}+5x+3}{2x-1}-1\leqslant 0
\Leftrightarrow \dfrac{-x^{2}+5x+3}{2x-1}-\dfrac{2x-1}{2x-1}\leqslant 0 
\Leftrightarrow \dfrac{-x^{2}+5x+3-2x+1}{2x-1}\leqslant 0 \\
&\Leftrightarrow \dfrac{-x^{2}+3x+4}{2x-1}\leqslant 0 
 \Leftrightarrow\dfrac{f(x)}{g(x)}\leqslant0
\end{aligned}
\]
 avec $\sysd{&f(x)=-x^{2}+3x+4}{&g(x)=2x-1}$
 
 \bigskip

Il suffit donc d'étudier le signe de $f$ et $g$.

\begin{itemize}
\item D'une part $g$ est une fonction affine de coefficient directeur positif et qui s'annule en $\frac{1}{2}$.

\item D'autre part $f$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est négatif et qui s'annule (calculs à faire...) en $-1$
et $4$
\end{itemize}

On peut donc construire le tableau :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=3,
            lgt=3,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe\\
de $f(x)$ /1.5,
Signe\\
de $g(x)$ /1.5,
Signe\\
de $\frac{f(x)}{g(x)}$ /1.5
}
{$-\infty$,$-1$,$\frac{1}{2}$,$4$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,-,z,+,t,+,z,-, }
\tkzTabLine{ ,-,t,-,z,+,t,+, }
\tkzTabLine{ ,+,z,-,d,+,z,-, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Conclusion : \fbox{$\cals=\intervalleFO{-1}{\dfrac{1}{2}} \cup \intervalleFO{4}{+\infty}$}

\newpage

\affichetitre

\begin{exercice}
Soit $P$ le polynôme défini par :\[ P(x)=-7x^{2}-18x+9 \] 
Donner, \textbf{en justifiant}, les racines de $P$, une factorisation de $P(x)$, la forme canonique de $P(x)$, le signe de $P(x)$ en fonction de $x$ et l'allure de la représentation graphique de $P$ dans un repère orthonormal.
\end{exercice}



\hfill\hrulefill\hspace{\stretch{1}}

\begin{center}
\textbf{Corrigé}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Racines :

$\Delta=(-18)^2-4\times(-7)\times9=576>0$.

$P$ admet donc deux racines qui sont : $x_1=\dfrac{18+\sqrt{576}}{2\times(-7)}=-3$ et $x_2=\dfrac{18-\sqrt{576}}{2\times(-7)}=\dfrac{3}{7}$

\item Factorisation :

Pour tout réel $x$, $P(x)=-7(x+3)\left(x-\frac{3}{7}\right)$.

\item Forme canonique :

$P$ admet un extremum (c'est d'ailleurs un maximum) en $x=\dfrac{-(-18)}{2\times(-7)}=\dfrac{-9}{7}$.

Ce maximum est $P\left(-\dfrac{9}{7}\right)=\dots = \dfrac{144}{7}$

On en déduit : pour tout réel $x$, $P(x)=-3\left(x+\frac{9}{7}\right)^2+\frac{144}{7}$

\item Signe :

On connait les racines et le coefficient de $x^2$ ($-7$, qui est négatif), on en déduit le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe\\
de  $P(x)$/1.5
}
{$-\infty$,$-3$,$\frac{3}{7}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
\end{tikzpicture}

\end{center}

\item Courbe :

La courbe représentant $P$ est une parabole dont l'allure est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
u:=1cm;
repere(-2.5,1.5,u,-2,2,u);
 path C_f;
 draw axes(0,0);
 vardef f(expr x)=-(x**2)-1.5*x+1 enddef;
 C_f=courbefonc(f,-2.5,1);
 draw C_f withpen pencircle scaled 1;
 draw projectionaxes((-0.75,f(-0.75)),LaTeX("$-\frac{9}{7}$"),LaTeX("$\frac{144}{7}$")) dashed evenly;
 label.ulft(LaTeX("$-3$"),(-2,0));
 label.urt(LaTeX("$\frac{3}{7}$"),(0.5,0));
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{exercice}
Résoudre l'inéquation suivante :
\[ (I) : \frac{-x^{2}+4x+2}{2x-1}\leqslant 1 \]

\end{exercice}



\hfill\hrulefill\hspace{\stretch{1}}

\begin{center}
\textbf{Corrigé}
\end{center}


 
\[ 
\begin{aligned}
(I)&\Leftrightarrow \dfrac{-x^{2}+4x+2}{2x-1}-1\leqslant 0
\Leftrightarrow \dfrac{-x^{2}+4x+2}{2x-1}-\dfrac{2x-1}{2x-1}\leqslant 0 
\Leftrightarrow \dfrac{-x^{2}+4x+2-2x+1}{2x-1}\leqslant 0 \\
&\Leftrightarrow \dfrac{-x^{2}+2x+3}{2x-1}\leqslant 0 
 \Leftrightarrow\dfrac{f(x)}{g(x)}\leqslant0
\end{aligned}
\]
 avec $\sysd{&f(x)=-x^{2}+2x+3}{&g(x)=2x-1}$
 
 \bigskip

Il suffit donc d'étudier le signe de $f$ et $g$.

\begin{itemize}
\item D'une part $g$ est une fonction affine de coefficient directeur positif et qui s'annule en $\frac{1}{2}$.

\item D'autre part $f$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est négatif et qui s'annule (calculs à faire...) en $-1$
et $3$
\end{itemize}

On peut donc construire le tableau :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=3,
            lgt=3,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe\\
de $f(x)$ /1.5,
Signe\\
de $g(x)$ /1.5,
Signe\\
de $\frac{f(x)}{g(x)}$ /1.5
}
{$-\infty$,$-1$,$\frac{1}{2}$,$3$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,-,z,+,t,+,z,-, }
\tkzTabLine{ ,-,t,-,z,+,t,+, }
\tkzTabLine{ ,+,z,-,d,+,z,-, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Conclusion : \fbox{$\cals=\intervalleFO{-1}{\dfrac{1}{2}} \cup \intervalleFO{3}{+\infty}$}




\end{document}