\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}

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              unicode,%
              pdftitle={Interrogation de première S sur le second degré},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}


\begin{document}
 \titre{Second degré}
 \classe{\prems}
 \typedoc{CorInterro}{1}
 \date{18 septembre 2017}
 
\affichetitre

\everymplib{verbatimtex \leavevmode etex;
            input repere;}

\begin{exercice*}{}
Soit $P$ le polynôme défini par : \[ P(x)=-6 x^2-19 x+20 \]
Donner, \textbf{en justifiant}, les racines de $P$, une factorisation de $P(x)$, la forme canonique de $P(x)$, le signe de $P(x)$ en fonction de $x$ et l'allure de la représentation graphique de $P$ dans un repère orthonormal.




\hfill\hrulefill\hspace{\stretch{1}}

\begin{center}
\textbf{Corrigé}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Racines :

$\Delta=(-19)^2-4\times(-6)\times20=841>0$.

$P$ admet donc deux racines qui sont : $x_1=\dfrac{19+\sqrt{841}}{2\times(-6)}=-4$ et $x_2=\dfrac{19-\sqrt{841}}{2\times(-6)}=\dfrac{5}{6}$

\item Factorisation :

Pour tout réel $x$, $P(x)=-6(x+4)\left(x-\frac{5}{6}\right)$.

\item Forme canonique :

$P$ admet un extremum (c'est d'ailleurs un maximum) en $x=\dfrac{-(-19)}{2\times(-6)}=\dfrac{-19}{12}$.

Ce maximum est $P\left(-\dfrac{19}{12}\right)=\dots = \dfrac{841}{24}$

On en déduit : pour tout réel $x$, $P(x)=-6\left(x+\frac{19}{12}\right)^2+\frac{841}{24}$

\item Signe :

On connait les racines et le coefficient de $x^2$ (qui est négatif), on en déduit le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe\\
de $P(x)$  /1.5
}
{$-\infty$,$-4$,$\frac{5}{6}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
\end{tikzpicture}

\end{center}

\item Courbe :

La courbe représentant $P$ est une parabole dont l'allure est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
u:=1cm;
repere(-2.5,1.5,u,-2,2,u);
 path C_f;
 draw axes(0,0);
 vardef f(expr x)=-(x**2)-1.5*x+1 enddef;
 C_f=courbefonc(f,-2.5,1);
 draw C_f withpen pencircle scaled 1;
 draw projectionaxes((-0.75,f(-0.75)),LaTeX("$-\frac{19}{12}$"),LaTeX("$\frac{841}{24}$")) dashed evenly;
 label.ulft(LaTeX("$-4$"),(-2,0));
 label.urt(LaTeX("$\frac{5}{6}$"),(0.5,0));
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exercice*}

\newpage

\affichetitre

\begin{exercice*}{}
Soit $P$ le polynôme défini par :\[ P(x)=-3x^{2}-20x+7 \] 
Donner, \textbf{en justifiant}, les racines de $P$, une factorisation de $P(x)$, la forme canonique de $P(x)$, le signe de $P(x)$ en fonction de $x$ et l'allure de la représentation graphique de $P$ dans un repère orthonormal.
\end{exercice*}



\hfill\hrulefill\hspace{\stretch{1}}

\begin{center}
\textbf{Corrigé}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Racines :

$\Delta=(-20)^2-4\times(-3)\times7=484>0$.

$P$ admet donc deux racines qui sont : $x_1=\dfrac{20+\sqrt{484}}{2\times(-3)}=-7$ et $x_2=\dfrac{20-\sqrt{484}}{2\times(-3)}=\dfrac{1}{3}$

\item Factorisation :

Pour tout réel $x$, $P(x)=-3(x+7)\left(x-\frac{1}{3}\right)$.

\item Forme canonique :

$P$ admet un extremum (c'est d'ailleurs un maximum) en $x=\dfrac{-(-20)}{2\times(-3)}=\dfrac{-10}{3}$.

Ce maximum est $P\left(-\dfrac{10}{3}\right)=\dots = \dfrac{121}{3}$

On en déduit : pour tout réel $x$, $P(x)=-3\left(x+\frac{10}{3}\right)^2+\frac{121}{3}$

\item Signe :

On connait les racines et le coefficient de $x^2$ (qui est négatif), on en déduit le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe\\
de  $P(x)$/1.5
}
{$-\infty$,$-7$,$\frac{1}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
\end{tikzpicture}

\end{center}

\item Courbe :

La courbe représentant $P$ est une parabole dont l'allure est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
u:=1cm;
repere(-2.5,1.5,u,-2,2,u);
 path C_f;
 draw axes(0,0);
 vardef f(expr x)=-(x**2)-1.5*x+1 enddef;
 C_f=courbefonc(f,-2.5,1);
 draw C_f withpen pencircle scaled 1;
 draw projectionaxes((-0.75,f(-0.75)),LaTeX("$-\frac{10}{3}$"),LaTeX("$\frac{121}{3}$")) dashed evenly;
 label.ulft(LaTeX("$-7$"),(-2,0));
 label.urt(LaTeX("$\frac{1}{3}$"),(0.5,0));
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}
\end{enumerate}



\end{document}