\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}

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              pdftitle={Interrogation},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}



\begin{document}
 \titre{Second degré}
 \classe{\prems}
 \typedoc{CorrInterro}{1}
 \date{21 septembre 2016}
 
\affichetitre

\begin{empfile}
\begin{empcmds}
input repere;
\end{empcmds}

\begin{exercice}
Soit $P$ le polynôme défini par : \[ P(x)=-6 x^2-19 x+20 \]
Donner, \textbf{sans justifier}, les racines de $P$, une factorisation de $P(x)$, la forme canonique de $P(x)$, le signe de $P(x)$ en fonction de $x$ et l'allure de la représentation graphique de $P$ dans un repère orthonormal.


\hfill\hrulefill\hspace{\stretch{1}}

\begin{center}
\textbf{Corrigé}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Racines :

$\Delta=(-19)^2-4\times(-6)\times20=841>0$.

$P$ admet donc deux racines qui sont : $x_1=\dfrac{19+\sqrt{841}}{2\times(-6)}=-4$ et $x_2=\dfrac{19-\sqrt{841}}{2\times(-6)}=\dfrac{5}{6}$

\item Factorisation :

Pour tout réel $x$, $P(x)=-6(x+4)\left(x-\frac{5}{6}\right)$.

\item Forme canonique :

$P$ admet un extremum (c'est d'ailleurs un maximum) en $x=\dfrac{-(-19)}{2\times(-6)}=\dfrac{-19}{12}$.

Ce maximum est $P\left(-\dfrac{19}{12}\right)=\dots = \dfrac{841}{24}$

On en déduit : pour tout réel $x$, $P(x)=-6\left(x+\frac{19}{12}\right)^2+\frac{841}{24}$

\item Signe :

On connait les racines et le coefficient de $x^2$, on en déduit le tableau suivant

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe\\
de $P(x)$  /1.5
}
{$-\infty$,$-4$,$\frac{5}{6}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
\end{tikzpicture}

\end{center}

\item Courbe :

La courbe représentant $P$ est une parabole dont l'allure est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
u:=1cm;
repere(-2.5,1.5,u,-2,2,u);
 path C_f;
 draw axes(0,0);
 vardef f(expr x)=-(x**2)-1.5*x+1 enddef;
 C_f=courbefonc(f,-2.5,1);
 draw C_f withpen pencircle scaled 1;
 draw projectionaxes((-0.75,f(-0.75)),LaTeX("$-\frac{19}{12}$"),LaTeX("$\frac{841}{24}$")) dashed evenly;
 label.ulft(LaTeX("$-4$"),(-2,0));
 label.urt(LaTeX("$\frac{5}{6}$"),(0.5,0));
fin;
\end{emp}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction polynôme du second degré.
Déterminer $f$ sachant que :
\begin{itemize}[leftmargin=3em]
\item $f(2)=f(-4)$ ;
\item Le maximum de $f$ est $9$ ;
\item $f(0)=5$.
\end{itemize}



\hfill\hrulefill\hspace{\stretch{1}}

\begin{center}
\textbf{Corrigé}
\end{center}

\begin{itemize}
\item $f(2)=f(-4)$ donc l'extremum de $f$ est obtenu pour $x=\frac{-4+2}{2}=-1$.

Ainsi, pour tout réel $x$, $f(x)=a(x+1)^2+\beta$.

\item Le maximum de $f$ est $9$, on en déduit donc que, pour tout réel $x$, $f(x)=a(x+1)^2+9$

\item $f(0)=5 \Leftrightarrow a(0+1)^2+9=5 \Leftrightarrow a+9=5\Leftrightarrow a=-4$
\end{itemize}

Conclusion : pour tout réel $x$, \fbox{$f(x)=-4(x+1)^2+9$}
\end{exercice}

\begin{exercice}
$p$ et $q$ désignent des réels et on considère l'équation : \[ (E) : 3x^{2}+px+q=0 \]
Déterminer les valeurs de $p$ et $q$ pour que $-\dfrac{1}{3}$ et $2$ soient les deux solutions de $(E)$.



\hfill\hrulefill\hspace{\stretch{1}}

\begin{center}
\textbf{Corrigé}
\end{center}

Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie par $f(x)=3x^{2}+px+q$

$-\dfrac{1}{3}$ et $2$ sont les racines de $f$ donc, pour tout réel $x$, $f(x)=3\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)$

En développant l'expression obtenue, on a : $f(x)=(3x+1)(x-2)=3x^2-6x+x-2=3x^2-5x-2$

Par identification des coefficients, on a : \fbox{$p=-5$ et $q=-2$}
\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}

