\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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\begin{document}
 \titre{Dérivation}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Interrogation}{16}
 \date{28 mai 2018}
 \duree{30 minutes}
 
\affichetitre

\begin{exercice}
Soit $ABCD$ un rectangle de centre $O$ tel que $AB=5$ et $AD=3$.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item \label{ps1}Démontrer que $\vect{AC}.\vect{DB}=16$.
        \item \label{ps2}En déduire $\vect{OC}.\vect{OB}$.
       \end{enumerate}
 \item Calculer $AC$ puis $OC$.
% \item On appelle $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$ et $K$ le projeté orthogonal de $D$ sur $(AC)$.
%   \par En utilisant la question \ref{ps1}, calculer la longueur $HK$.
 \item On appelle $\theta$ l'angle $\widehat{BOC}$.
   \par En utilisant la question \ref{ps2}, calculer un arrondi de $\theta$ au degré près.
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{corr}
Calculs (il manque les justifications laissées au soin du lecteur...) :
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item $\vect{AC}.\vect{DB}=(\vect{AB}+\vect{BC}).(\vect{DA}+\vect{AB})=\vect{AB}.\vect{DA}+\vect{AB}.\vect{AB}+\vect{BC}.\vect{DA}+\vect{BC}.\vect{AB}=0+AB^2-BC\times AD + 0=5^2-3^3=16$
        \item $\vect{OC}.\vect{OB}=\frac{1}{2}\vect{AC}.\frac{1}{2}\vect{DB}=\frac{1}{4}\vect{AC}.\vect{DB}=\frac{1}{4}\times 16=4$.
       \end{enumerate}
 \item En utilisant le théorème de Pythagore, on obtient $AC=\sqrt{34}$ et $OC=\frac{\sqrt{34}}{2}$.
 \item  $\vect{OC}.\vect{OB}=OB\times OC \times \cos \theta$.
  On a donc $4=\frac{\sqrt{34}}{2} \times \frac{\sqrt{34}}{2} \times \cos\theta$
  
  On en déduit : $\cos\theta = \frac{16}{34}=\frac{8}{17}$ et donc $\theta \approx \ang{62}$
\end{enumerate}
\end{corr}

\vfill\vfill

\begin{exercice}
Soit $ABCD$ un rectangle tel que $AB=\ell$ et $AD=\ell\sqrt{2}$ et soit $I$ le milieu de $[BC]$.

Démontrer que $(AI)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires.
\end{exercice}

\begin{corr}
$\vect{AI}.\vect{BD}=(\vect{AB}+\vect{BI}).(\vect{BA}+\vect{AD})=\vect{AB}.\vect{BA}+\vect{AB}.\vect{AD}+\vect{BI}.\vect{BA}+\vect{BI}.\vect{AD}=-AB^2+0+0+BI\times AD = -\ell^2+\frac{1}{2}\ell\sqrt{2}\times \ell\sqrt{2}=-\ell^2+\frac{1}{2}\ell\times2=0$

Les vecteurs $\vect{AI}$ et $\vect{BD}$ sont donc orthogonaux.

Les droites $(AI)$ et $(BD)$ sont donc perpendiculaires.
\end{corr}

\vfill

\newpage
\begin{exercice}
$ABC$ est un triangle tel que $AB=5$ et $AC=4$. De plus $H$, le pied de la hauteur issue de $C$, est tel que $H\in[AB]$ et $AH=2$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$.
\item Calculer $\left\|3\vect{AB}+2\vect{AC}\right\|$
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{corr}
\begin{enumerate}
\item $\vect{AB}.\vect{AC}=\vect{AB}.\vect{AH}=AB\times AH = 5\times 2=10$
\item $\left\|3\vect{AB}+2\vect{AC}\right\|^2=(3\vect{AB}+2\vect{AC})^2=9\vect{AB}^2+12\vect{AB}.\vect{AC}+4\vect{AC}^2=9AB^2+12\times10+4AC^2=9\times25+120+4\times16=409$

On en déduit : $\left\|3\vect{AB}+2\vect{AC}\right\|=\sqrt{409}$
\end{enumerate}
\end{corr}


\end{document}