\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

\usepackage{PresentationArticle-lua}   %Paquet perso
\usepackage{Commandes-lua}      %Paquet perso

\usepackage{fontspec}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage{lualatex-math}
\setmainfont{STIX Two Text}
\setmathfont{STIX Two Math}

\usepackage{graphicx}

\usepackage{luamplib}
  
  \usepackage[output-decimal-marker={,}]{siunitx}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage{babel}
     \frenchbsetup{SuppressWarning,CompactItemize=false}
     \DecimalMathComma

  \usepackage[%
              unicode,%
              pdftitle={Interrogation de première S sur les fonctions},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}

\newboolean{solution}
\setboolean{solution}{true}

 \newsavebox{\boiterep}
 \newenvironment{corr}%
             {\large\par\begin{lrbox}{\boiterep}
                 \begin{minipage}[t][0pt]{0.9\linewidth}
                    %\usefont{T1}{pzc}{m}{it}\selectfont\mathversion{repmath}%
                    \color{blue}\itshape%
              }%
              {%\mathversion{normal}
               \end{minipage}%
               \end{lrbox}%
               \ifthenelse{\boolean{solution}}%
                            {%\vspace{-0.5\baselineskip}%
                            %\centering
                            \par{\centering\makebox[0pt][c]{\usebox{\boiterep}}%
                             \par}
                             \vspace{-\baselineskip}
                             }%
                            {}%
               }


\begin{document}
 \titre{Fonctions}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Interrogation}{3}
 \date{20 octobre 2017}
 
\affichetitre




\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par : \[ f(x)=\sqrt{x^2+5x+4} \]
Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
\end{exercice}


\begin{corr}
On a $f(x)=\sqrt{g(x)}$ avec $g(x)=x^2+5x+4$.

$x\in \cald_f \Leftrightarrow g(x) \geqslant 0$. Il faut donc étudier le signe de $g$, qui est un polynôme du 2\ieme{} degré.

À l'aide des formules habituelles, on trouve les racines de $g$ qui sont $-1$ et $-4$ et on en déduit le tableau :

\begin{center}
\footnotesize
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.5,
Signe\\
de  $f(x)$/1
}
{$-\infty$,$-4$,$-1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
\end{tikzpicture}
\end{center}
Conclusion : \fbox{$\cald_f=\intervalleOF{-\infty}{-4}\cup \intervalleFO{-1}{+\infty}$}

\end{corr}

\vspace{8cm}


\begin{exercice}
Résoudre l'équation et l'inéquation suivantes :
\begin{colenumerate}{2}
%\item $(E_1) : \left| -x^2+6x-8\right|=3$
\item $(E) : \left| 3x-5\right|=\left| -7x+5\right| $
\item $(I): \left| 4x-7\right| \leqslant 5$
\end{colenumerate}
\end{exercice}

\begin{corr}
\begin{enumerate}[itemsep=4ex]
\item $(E) : \left| 3x-5\right|=\left| -7x+5\right| \Leftrightarrow
\left|\text{ou} \begin{aligned}
3x-5 & = -7x+5 \\
3x-5 & = 7x-5
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow
\left|\text{ou} \begin{aligned}
10x & = 10 \\
-4x & = 0
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow
\left|\text{ou} \begin{aligned}
x & = 1 \\
x & = 0
\end{aligned}
\right.$

Conclusion : \fbox{$\cals_E=\{0 ; 1\}$}

\item $(I): \left| 4x-7\right| \leqslant 5 \Leftrightarrow -5 \leqslant 4x-7 \leqslant 5 \Leftrightarrow 2\leqslant 4x \leqslant 12 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 3$

Conclusion : \fbox{$\cals_I=\intervalleFF{\dfrac{1}{2}}{3}$}

\end{enumerate}
\end{corr}



\newpage
\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par : \[ f(x)=\left|2x+3\right| + \left|-3x+6\right| \]
Donner l'expression de $f(x)$ sans valeur absolue (on pourra utiliser un tableau).
\end{exercice}

\begin{corr}
Par définition de la valeur absolue :

\[  |2x+3|= 
\begin{dcases}
2x+3 & \text{si }2x+3\geqslant 0 \\ 
-2x-3 &  \text{si }2x +3<0 
\end{dcases}\qquad
\text{et}\qquad
 |-3x+6|=
\begin{dcases}
-3x+6 & \text{si }-3x+6\geqslant 0 \\
3x-6 & \text{si }-3x+6<0 
\end{dcases} \]


\medskip
Pour simplifier l'écriture de $f(x)$, il faut donc étudier le signe de $2x+3$ et de $-3x+6$.

\bigskip
Les deux fonctions précédentes sont des fonctions affines. Pour obtenir leur signe, il suffit de trouver leur racine et regarder le signe de leur coefficient directeur.

\medskip

$2x+3=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}$ et le coefficient directeur est $2>0$.

$-3x+6=0 \Leftrightarrow x=2$ et le coefficient directeur est $-3<0$.

\bigskip
On peut résumer tout ça dans un tableau :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            %colorC=gray,
            %colorV=gray,
            espcl=3,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.75,
Signe de\\
$2x+3$ /1.25,
$|2x+3|=$ /1.25,
Signe de\\
$-3x+6$ /1.25,
$|-3x+6|=$ /1.25,
$f(x)=$ /1.25}
{$-\infty$,$-\frac{3}{2}$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{ ,-,z,+,t,+, }
\tkzTabLine{ ,-2x-3,t,2x+3,t,2x+3, }
\tkzTabLine{ ,+,t,+,z,-, }
\tkzTabLine{ ,-3x+6,t,-3x+6,t,3x-6, }
\tkzTabLine{ ,-5x+3,t,-x+9,t,5x-3, }
\end{tikzpicture}

\end{center}


\end{corr}

\end{document}