\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}

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     \DecimalMathComma

  \usepackage[%
              pdftitle={Interrogation},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}



\begin{document}
 \titre{Fonctions}
 \classe{\prems}
 \typedoc{CorInterro}{3}
 \date{13 octobre 2016}
 
\affichetitre

\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par : \[ f(x)=\sqrt{x^2+5x+4} \]
Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
\end{exercice}

\hfill\hrulefill\hspace{\stretch{1}}

\begin{center}
\textbf{Corrigé}
\end{center}


$x\in\cald_f \Leftrightarrow x^2+5x+4 \geqslant 0$. Il faut donc étudier le signe de $P(x)=x^2+5x+4$.

$\Delta=5^2-4\times1\times4=9>0$. $P$ a donc deux racines qui sont \dots (calculs) \dots $-4$ et $-1$.

Le coefficient de $x^2$ est positif, on obtient donc le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe de\\
$P(x)$  /1.5
}
{$-\infty$,$-4$,$-1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
\end{tikzpicture}
\end{center}
On en déduit donc que $P(x)\geqslant 0 \Leftrightarrow x\in\intervalleOF{-\infty}{-4}\cup\intervalleFO{-1}{+\infty}$

Conclusion : \fbox{$\cald_f=\intervalleOF{-\infty}{-4}\cup\intervalleFO{-1}{+\infty}$}

\bigskip
\begin{exercice}
Résoudre les équations et inéquation suivantes :
\begin{colenumerate}{3}
\item $(E_1) : \left| -x^2+6x-8\right|=3$
\item $(E_2) : \left| 3x-5\right|=\left| -7x+5\right| $
\item $(I): \left| 4x-7\right| \leqslant 5$
\end{colenumerate}
\end{exercice}

\hfill\hrulefill\hspace{\stretch{1}}

\begin{center}
\textbf{Corrigé}
\end{center}

\begin{enumerate}[itemsep=2em]
\item 
$(E_1)\Leftrightarrow \left\vert \text{ou}
\begin{aligned}
&-x^2+6x-8=3 \\
&-x^2+6x-8=-3
\end{aligned}\right.
\Leftrightarrow \left\vert \text{ou}
\begin{aligned}
&-x^2+6x-11=0 \\
&-x^2+6x-5=0
\end{aligned}\right.
$

Il faut donc résoudre chacune de ces deux équations du second degré. Les calculs (à faire...) nous permettent d'affirmer que la première n'a pas de solution et que la seconde a deux solutions qui sont $1$ et $5$.

Conclusion : \fbox{$\cals_1=\{1;5\}$}


\item $(E_2) \Leftrightarrow \left\vert \text{ou}
\begin{aligned}
&3x-5=-7x+5 \\
&3x-5=7x-5
\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\vert \text{ou}
\begin{aligned}
&10x=10 \\
&-4x=0
\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\vert \text{ou}
\begin{aligned}
&x=1 \\
&x=0
\end{aligned}\right.
$

Conclusion : \fbox{$\cals_2=\{0;1\}$}

\item $(I)\Leftrightarrow -5\leqslant 4x-7 \leqslant 5 \Leftrightarrow 2 \leqslant 4x \leqslant 12 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 3$

Conclusion : \fbox{$\cals_I=\intervalleFF{\frac{1}{2}}{3}$}
\end{enumerate}
\end{document}

