\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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\usepackage{lualatex-math}
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\setmathfont{STIX Two Math}

\usepackage{graphicx}

\usepackage{luamplib}
\everymplib{verbatimtex \leavevmode etex;
            input repere;
            color coul[];
            coul1:=(0,0,0.5);
            coul2:=(0.3,0,0.6);
            coul3:=(0.5,0,0);
            boolean solution;
            if \mpdim{\sol}>0: solution=true else: solution=false fi;
            }

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  \usepackage[%
              unicode,%
              pdftitle={Interrogation de première S sur la dérivarion},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}
              
              
\newboolean{solution}

\NewEnviron{corrige}{\ifthenelse{\boolean{solution}}
                                {\par\medskip\color{blue}\large\BODY
                                \par\medskip}
                                {}
                    }


%\setboolean{solution}{true}
\newlength{\sol}
\ifthenelse{\boolean{solution}}{\setlength{\sol}{1pt}}{\setlength{\sol}{0pt}}

\begin{document}
 \titre{Dérivation}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Int}{6}
 \duree{30 minutes}
 \date{28 novembre 2018}
 
\affichetitre

{\Large\bfseries Nom :}

\bigskip

\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par : \[ f(x)=\frac{x^2-12}{2x-8} \]
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition $\cald_f$ de $f$.

\begin{corrige}
$2x-8=0 \Leftrightarrow x=4 $ donc \fbox{$\cald_f=\R\setminus\{4\}$}.
\end{corrige}

\item Étudier les variations de $f$ sur $\cald_f$.

\begin{corrige}
Pour étudier les variations de $f$, on étudie le signe de sa dérivée.

$f$ est une fonction rationnelle, elle est donc dérivable sur son ensemble de définition et on a :

Pour tout $x\in\cald_f$, \[ f'(x)=\dfrac{2x(2x-8)-(x^2-12)\times2}{(2x-8)^2}=\dfrac{4x^2-16x-2x^2+24+24}{(2x-8)^2}=\dfrac{2x^2-16x+24}{(2x-8)^2} \]

\bigskip

Sur $\cald_f$, $f'(x)$ est du signe de $n(x)=2x^2-16x+24$ car $(2x-8)^2>0$.

\bigskip

$n(x)$ est un polynôme du second degré dont les racines sont (les calculs sont à faire...) : $2$ et $6$. On en déduit donc son signe (en remarquant que le coefficient de $x^2$ est $2>0$) ainsi que le tableau de variation de $f$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe\\
de $n(x)$ /1,
Signe\\
de $f'(x)$ /1,
Variations\\
de $f$ /2}
{$-\infty$,$2$,$4$,$6$,$+\infty$}
\tkzTabLine{ , + , 0 , - , t , - , 0 , + , }
\tkzTabLine{ , + , 0 , - , d , - , 0 , + , }
\tkzTabVar{ -/ ,+/$2$, -D+//, -/$6$,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}


\end{corrige}

\item Étudier le signe de $d(x)=f(x)-\left(\frac{1}{2}x+2\right)$ sur $\cald_f$.

\begin{corrige}
Pour tout $x\in\cald_f$, 
\[ 
\begin{aligned}
d(x) &=f(x)-\left(\frac{1}{2}x+2\right) = \frac{x^2-12}{2x-8}-\left(\frac{1}{2}x+2\right)
= \frac{x^2-12-\left(\frac{1}{2}x+2\right)(2x-8)}{2x-8}\\
&= \frac{x^2-12-x^2+4x-4x+16}{2x-8}=\frac{4}{2x-8}
\end{aligned}
\]

Sur $\cald_f$, $d(x)$ est du signe de la fonction affine $x \mapsto 2x-8$.

\bigskip

On peut résumer la situation dans le tableau ci-dessous :


\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=3,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe\\
de $2x-8$ /1,
Signe\\
de $d(x)$ /1}
{$-\infty$,$4$,$+\infty$}
\tkzTabLine{ , - , 0 , + , }
\tkzTabLine{ , - , d , + , }
\end{tikzpicture}
\end{center}

Interprétation graphique :
\begin{itemize}
\item Sur $\intervalleOO{-\infty}{4}$, la courbe représentant $f$ est située \og en dessous \fg{} de la droite représentant $x \mapsto \frac{1}{2}x+2$.
\item Sur $\intervalleOO{4}{+\infty}$, la courbe représentant $f$ est située \og au dessus \fg{} de la droite représentant $x \mapsto \frac{1}{2}x+2$.
\end{itemize}

\end{corrige}

\item Donner l'allure de la courbe représentant $f$ dans un repère.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\ifthenelse{\boolean{solution}}{}{\newpage\par\vspace*{\stretch{1}}}


\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere.orth(-8,12,10cm,-4,12);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
vardef f(expr x)= (x**2-12)/(2x-8) enddef;
path C[];
C1=courbefonc(f)(-8,3.9);
C2=courbefonc(f)(4.1,12);
if solution:
  drawoptions(epaisseur 1 couleur bleu);
  draw C1;
  draw C2;
  draw droite(0.5,2) dashed evenly;
  draw droite(4) dashed evenly;
  drawoptions(epaisseur 1 couleur rouge);
  draw tangente.double(C1,2);
  draw tangente.double(C2,6);
fi
fin;
\end{mplibcode}

\end{center}
\end{document}