\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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\setmathfont{STIX Two Math}

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            input repere;
            color coul[];
            coul1:=(0,0,0.5);
            coul2:=(0.3,0,0.6);
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            }

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     \DecimalMathComma

  \usepackage[%
              unicode,%
              pdftitle={Interrogation de première S sur la dérivarion},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}
              
              
\newboolean{solution}

\NewEnviron{corrige}{\ifthenelse{\boolean{solution}}
                                {\par\medskip\color{blue}\BODY
                                \par\medskip}
                                {}
                    }

 \newsavebox{\boiterep}
 \newenvironment{corr}%
             {\large\par\begin{lrbox}{\boiterep}
                 \begin{minipage}[t][0pt]{0.9\linewidth}
                    %\usefont{T1}{pzc}{m}{it}\selectfont\mathversion{repmath}%
                    \color{blue}\itshape%
              }%
              {%\mathversion{normal}
               \end{minipage}%
               \end{lrbox}%
               \ifthenelse{\boolean{solution}}%
                            {%\vspace{-0.5\baselineskip}%
                            %\centering
                            \par{\centering\makebox[0pt][c]{\usebox{\boiterep}}%
                             \par}
                             \vspace{-\baselineskip}
                             }%
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               }

%\setboolean{solution}{true}

\begin{document}
 \titre{Dérivation}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Int}{5}
 \duree{15 minutes}
 \date{13 novembre 2018}
 
\affichetitre

{\Large\bfseries Nom :}

\bigskip

\begin{exercice}
Sur le graphique ci-dessous, les droites $d_1$ et $d_2$ sont les tangentes à la courbe $\calc$ aux points d'abscisses $-1$ et $4$.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
u:=0.8cm;
repere(-3,6,u,-3,5.5,u);
 draw quadrillage(1,1);
 draw axes(1,1);
 vardef f(expr x)=-(x**3)-(x**2)+2 enddef;
 path C,d_[];
% C=courbefonc(f,-2,2,50);
%C=(-3,6)..(-2,4)..(-1,2){(1,-1)}..(0,2)..(1,4){(1,0)}..(3,3){(1,-1.5)}..(4,1)..(5,-3);
C=splineder(-3,6,-3,-1,2,-1,4,3,1.5)(-3,6);
 d_1=droite(-1,1);
 d_2=droite(1.5,-3);
 draw C couleur coul3 epaisseur 1;
 nomme.urt(C,-1.7,LaTeX("$\calc$")) couleur coul3;
 draw d_1 couleur coul1 epaisseur 1;
 nomme.llft(d_1,-2.4) couleur coul1;
 draw d_2 couleur coul2 epaisseur 1;
 prefnomme:="bottom";
 nomme(d_2) couleur coul2;
 marquepointcourbe(C,-1,4);
 draw cadre;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}

Déterminer, par lecture graphique, $f(-1)$, $f(4)$, $f'(-1)$ et $f'(4)$.

\begin{corr}
$f(-1)$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $-1$ donc $f(-1)=2$.

De même $f(4)=3$.

$f'(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\calc$ au point d'abscisse $-1$. $f'(-1)$ est donc le coefficient directeur de $d_1$. Ainsi $f'(-1)=-1$.

$f'(4)$ est le coefficient directeur de $d_2$ donc $f'(4)=\frac{3}{2}$.
\end{corr}
\end{exercice}


\vspace{3cm}

\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^2$.

\textbf{Sans utiliser la formule du cours}, mais en utilisant la définition de la dérivée, démontrer que $f$ est dérivable en $1$ et que $f'(1)=2$.

\begin{corr}
Soit $h\neq 0$.

$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{(1+h)^2-1^2}{h}=\dfrac{1+2h+h^2-1}{h}=\dfrac{2h+h^2}{h}=2+h$

\medskip
$\ds\limo[h]2+h=2$ donc $\ds\limo[h]\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=2$

\medskip

Conclusion : $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=2$.
\end{corr}
\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}
En utilisant les formules de dérivation, calculer les fonctions dérivées des fonctions ci-dessous :
\begin{enumerate} [itemsep=2ex]
\item $f(x)=x^5-2x^4+\dfrac{3}{x}-1$
\item $g(x)=(x^2+1)\times (\sqrt{x}-2)$
\item $h(x)=\dfrac{x^3+2x+1}{x^2+1}$
\end{enumerate}

\begin{corr}
\begin{enumerate}[itemsep=2ex]
\item Pour tout $x\in\R^{*}$ :

$f'(x)=5x^4-2\times4x^3+3\times \dfrac{-1}{x^2}=5x^4-8x^3-\dfrac{3}{x^2}$

\item  Pour tout $x\in\R^{+}$ :

$\begin{aligned}
g'(x) &=2x(\sqrt{x}-2)+(x^2+1)\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\
      &=2x\sqrt{x}-4x+\dfrac{x^2}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\
      &=2x\sqrt{x}-4x+\dfrac{x\sqrt{x}}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\
      &=\dfrac{5}{2}x\sqrt{x}-4x+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\
\end{aligned}$

\item  Pour tout $x\in\R$ :

$\begin{aligned}
h'(x)&=\dfrac{(3x^2+2)(x^2+1)-(x^3+2x+1)\times2x}{(x^2+1)^2}\\
     &=\dfrac{3x^4+3x^2+2x^2+2-2x^4-4x^2-2x}{(x^2+1)^2}\\
     &=\dfrac{x^4+x^2-2x+2}{(x^2+1)^2}
\end{aligned}$

\end{enumerate}
\end{corr}
\end{exercice}


\newpage
\setcounter{exercice}{0}
\setcounter{page}{1}
 
\affichetitre

{\Large\bfseries Nom :}

\bigskip

\begin{exercice}
Sur le graphique ci-dessous, les droites $d_1$ et $d_2$ sont les tangentes à la courbe $\calc$ aux points d'abscisses $-1$ et $4$.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
u:=0.8cm;
repere(-3,6,u,-3,5.5,u);
 draw quadrillage(1,1);
 draw axes(1,1);
 vardef f(expr x)=-(x**3)-(x**2)+2 enddef;
 path C,d_[];
% C=courbefonc(f,-2,2,50);
%C=(-3,6)..(-2,4)..(-1,2){(1,-1)}..(0,2)..(1,4){(1,0)}..(3,3){(1,-1.5)}..(4,1)..(5,-3);
C=splineder(-3,6,-3,-1,2,-1,4,3,1.5)(-3,6);
 d_1=droite(-1,1);
 d_2=droite(1.5,-3);
 draw C couleur coul3 epaisseur 1;
 nomme.urt(C,-1.7,LaTeX("$\calc$")) couleur coul3;
 draw d_1 couleur coul1 epaisseur 1;
 nomme.llft(d_1,-2.4) couleur coul1;
 draw d_2 couleur coul2 epaisseur 1;
 prefnomme:="bottom";
 nomme(d_2) couleur coul2;
 marquepointcourbe(C,-1,4);
 draw cadre;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}

Déterminer, par lecture graphique, $f(-1)$, $f(4)$, $f'(-1)$ et $f'(4)$.

\begin{corr}
$f(-1)$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $-1$ donc $f(-1)=2$.

De même $f(4)=3$.

$f'(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\calc$ au point d'abscisse $-1$. $f'(-1)$ est donc le coefficient directeur de $d_1$. Ainsi $f'(-1)=-1$.

$f'(4)$ est le coefficient directeur de $d_2$ donc $f'(4)=\frac{3}{2}$.
\end{corr}
\end{exercice}


\vspace{3cm}

\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^2$.

\textbf{Sans utiliser la formule du cours}, mais en utilisant la définition de la dérivée, démontrer que $f$ est dérivable en $2$ et que $f'(2)=4$.

\begin{corr}
Soit $h\neq 0$.

$\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{(2+h)^2-2^2}{h}=\dfrac{4+4h+h^2-4}{h}=\dfrac{4h+h^2}{h}=4+h$

\medskip
$\ds\limo[h]4+h=4$ donc $\ds\limo[h]\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=4$

\medskip

Conclusion : $f$ est dérivable en $2$ et $f'(2)=4$.
\end{corr}
\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}
En utilisant les formules de dérivation, calculer les fonctions dérivées des fonctions ci-dessous :
\begin{enumerate} [itemsep=2ex]
\item $f(x)=x^5-3x^4+\dfrac{2}{x}-2$
\item $g(x)=(x^2+2)\times (\sqrt{x}-1)$
\item $h(x)=\dfrac{x^3+2x-1}{x^2+2}$
\end{enumerate}

\begin{corr}
\begin{enumerate}[itemsep=2ex]
\item Pour tout $x\in\R^{*}$ :

$f'(x)=5x^4-3\times4x^3+2\times \dfrac{-1}{x^2}=5x^4-12x^3-\dfrac{2}{x^2}$

\item  Pour tout $x\in\R^{+}$ :

$\begin{aligned}
g'(x) &=2x(\sqrt{x}-1)+(x^2+2)\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\
      &=2x\sqrt{x}-2x+\dfrac{x^2}{2\sqrt{x}}+\dfrac{2}{2\sqrt{x}}\\
      &=2x\sqrt{x}-2x+\dfrac{x\sqrt{x}}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\\
      &=\dfrac{5}{2}x\sqrt{x}-2x+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\\
\end{aligned}$

\item  Pour tout $x\in\R$ :

$\begin{aligned}
h'(x)&=\dfrac{(3x^2+2)(x^2+2)-(x^3+2x-1)\times2x}{(x^2+1)^2}\\
     &=\dfrac{3x^4+6x^2+2x^2+4-2x^4-4x^2+2x}{(x^2+1)^2}\\
     &=\dfrac{x^4+4x^2+2x+4}{(x^2+1)^2}
\end{aligned}$

\end{enumerate}
\end{corr}
\end{exercice}

\end{document}