\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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              pdftitle={Interrogation de première S sur les suites},%
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\begin{document}
 \titre{Suites}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Int}{9}
 \duree{15 minutes}
 \date{17 janvier 2019}
 
\affichetitre

{\Large\bfseries Nom :}

\bigskip

\begin{exercice}
Soit $\suite$ une suite arithmétique de raison $r$ telle que $u_3=8$ et $u_9=32$
\begin{enumerate}
\item Calculer $r$ et $u_0$.
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer $S=u_0+u_1+u_2+\dots u_{20}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}[itemsep=3ex]
\item La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique donc $u_9=u_3+(9-3)\times r$.

$u_9=u_3+(9-3)\times r \Leftrightarrow 32=8+6r \Leftrightarrow 6r=24 \Leftrightarrow \boxed{r=4}$

La même formule appliquée à $u_0$ et $u_3$ donne : $u_0=u_3+(0-3)\times r=8-3\times4\quad\boxed{= -4}$
\item On déduit de ce qui précède :
Pour tout $n\in\N$, $u_n=u_0+n\times r$ donc \fbox{$u_n=-4+4n$}
\item La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique donc :

$S=u_0+u_1+u_2+\dots u_{20}=(20+1)\times\dfrac{u_0+u_{20}}{2}=21\times\dfrac{-4+-4+4\times20}{2}=21\times\dfrac{72}{2}\quad \boxed{=756}$
\end{enumerate}

\end{corrige}
\vfill
\newpage

\begin{exercice}
Soit $(v_n)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n=\dfrac{3^{n+2}}{5^{n}}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item Quel est le sens de variation de cette suite ?
\item Calculer $T=v_0+v_1+v_2+\dots v_{20}$. Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}[itemsep=3ex]
\item Pour tout $n\in\N$ :
\[ \frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{\phantom{x}\frac{3^{n+3}}{5^{n+1}}\phantom{x}}{\frac{3^{n+2}}{5^n}} =  \frac{3^{n+3}}{5^{n+1}} \times \frac{5^n}{3^{n+2}} = \frac{3}{5}\]

$\suite[v]$ est donc \fbox{une suite géométrique de raison $q=\frac{3}{5}$ et de premier terme $v_0=\frac{3^{0+2}}{5^0}=9$}

\item $v_0>0$ et $0<q<1$ donc \fbox{$\suite[v]$ est strictement décroissante.}

\item $\suite[v]$ est géométrique donc :
\[ T= v_0\times \frac{1-q^{21}}{1-q}
= 9\times\frac{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{21}}{1-\frac{3}{5}}
= 9\times\frac{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{21}}{\frac{2}{5}}
= \frac{45}{2}\times \left(1-\left(\frac{3}{5}\right)^{21}\right)
\approx\boxed{ \num{22,4995}}
\]
\end{enumerate}
\end{corrige}

\end{document}