\chapter{Généralités sur les fonctions}

\section{Fonctions usuelles}
\subsection{Fonction racine carrée}



\begin{definition}
On appelle fonction racine carrée la fonction définie sur $\R^+$ par $x\mapsto \sqrt{x}$.
\end{definition}




\begin{theoreme}
La fonction racine carrée est strictement \motimp{croissante} sur $\R^+$.
\end{theoreme}

\begin{minipage}{0.3\linewidth}
Si $0<a<b$ alors $\sqrt{a}<\sqrt{b}$
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
%            colorL=LFBcoultable1,
            espcl=3.5,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Variations\\
de $x \mapsto \sqrt{x}$ /2
}
{$0$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/$0$ ,+/}%
\end{tikzpicture}

\end{minipage}


\begin{demonstration}
On considère deux réels $x_1$ et $x_2$ tels que $0\leqslant x_1<x_2$. On cherche à comparer $\sqrt{x_1}$ et $\sqrt{x_2}$.

$\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}= \dfrac{\left(\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}\right)\left(\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}\right)}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}} = \dfrac{x_2-x_1}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}$.

On a d'une part $\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}>0$ et d'autre part $x_2-x_1>0$ car $x_1<x_2$. Le quotient ci-dessus est donc strictement positif et $\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}>0$.

On en déduit : Si $0\leqslant x_1<x_2$ alors $\sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}$.

La fonction racine carrée est donc strictement croissante sur $\R^+$
\end{demonstration}



\begin{theoreme}
La représentation graphique de la fonction racine carrée est une \motimp{demi-parabole}.
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
Soit $\calc$ la représentation graphique de la fonction racine carrée dans un repère orthonormal et $\calc'$ la représentation graphique de la fonction carrée sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$.

$M\couple{x}{y}\in\calc \Leftrightarrow y=\sqrt{x} \Leftrightarrow \sysd{&x=y^2}{&y\geqslant 0} \Leftrightarrow M'\couple{y}{x}\in\calc'$

$\calc$ est donc symétrique de $\calc'$ par rapport à la droite d'équation $y=x$.
\end{demonstration}

\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(-1,4.5,1cm,-1,2.5,1cm);
vardef rac(expr x)=sqrt(x) enddef;
 path C_rac;
 C_rac =courbefonc(rac,0,5,50);
 draw quadrillage(0.5,0.5);
 draw axes.llft(1,1);
 draw cadre;
 draw C_rac withpen pencircle scaled 1;
fin;

\end{mplibcode}

\end{center}


\subsection{Fonction valeur absolue}



\begin{definition}
On appelle fonction \motdef{valeur absolue} la fonction définie sur $\R$ par
\[x\mapsto
\begin{cases}
x&\text{si }x\geqslant 0\\
-x&\text{si }x<0
\end{cases}\]
L'image d'un réel $x$ par la fonction valeur absolue se note \motdef{$|x|$}.
\end{definition}

\begin{exemple}
$|3|=3$ car $3\geqslant 0$, $|0|=0$ car $0\geqslant 0$, $|-5|=-(-5)=5$ car $-5<0$...
\end{exemple}

% \begin{ex}
% Donner, selon les valeurs de $x$, l'écriture sans valeur absolue de $f(x)=|3x-3|+|x+2|$.
% \end{ex}
% 
% \begin{repex}
% \begin{itemize}
% \item Si $x<-2$ alors $3x-3<0$ et $x+2<0$. On a alors : $f(x)=-3x+3-x-2=-4x+1$.
% \item Si $-2\leqslant x<1$ alors $3x-3<0$ et $x+2\se0$. On a alors : $f(x)=-3x+3+x+2=-2x+5$.
% \item Si $x<-2$ alors $3x-3\se0$ et $x+2\se0$. On a alors : $f(x)=3x-3+x+2=4x-1$.
% \end{itemize}
% 
% \end{repex}




\begin{theoreme}
La fonction valeur absolue est strictement \motimp{décroissante} sur  $\intervalleOF{-\infty}{0}$, elle est strictement \motimp{croissante} sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$.
\end{theoreme}

\begin{minipage}{0.35\linewidth}
Si $a<b\leqslant0$ alors $|a|>|b|$

\vspace{1ex}
Si $0\leqslant a<b$ alors $|a|<|b|$
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.62\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
%            colorL=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Variations\\
de $x \mapsto |x|$ /2
}
{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/$0$ ,+/}%
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\begin{demonstration}
Pour tout $x\in\intervalleFO{0}{+\infty}$, $|x|=x$. Il s'agit donc, sur $\R^+$,  d'une fonction affine strictement croissante.

Pour tout $x\in\intervalleOF{-\infty}{0}$, $|x|=-x$. Il s'agit donc, sur $\intervalleOF{-\infty}{0}$,  d'une fonction affine strictement décroissante.
\end{demonstration}

\begin{theoreme}
\begin{itemize}
\item Pour tout $x\in\R$ , $|x|\geqslant 0$.
\item Pour tout $x\in\R$, $\left|-x\right|=|x|$. On dit que la fonction valeur absolue est \motimp{paire}.
\end{itemize}
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
\begin{itemize}
\item Si $x\geqslant 0$ alors $|x|=x\geqslant 0$ et si $x\leqslant 0$ alors $|x|=-x\geqslant 0$ ainsi pour tout $x\in\R$ , $|x|\geqslant 0$.
\item Si $x\geqslant 0$ alors $|x|=x$ et $|-x|=x$ et si $x\leqslant 0$ alors $|x|=-x$ et $|-x|=-x$ car $-x>0$
\end{itemize}
\end{demonstration}


\subsection{Courbe}


\begin{theoreme}
La représentation graphique de la fonction valeur absolue dans un repère orthogonal est formée de deux \motimp{demi-droites} d'origine $O$. Elle est symétrique par rapport à \motimp{l'axe des ordonnées}.
\end{theoreme}


\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{demonstration}
\begin{itemize}
\item Sur $\intervalleOF{-\infty}{0}$, $|x|=-x$ donc la représentation graphique est la demi-droite représentant la fonction affine $x\mapsto -x$ sur $\intervalleOF{-\infty}{0}$ 
\item Sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$, $|x|=x$ donc la représentation graphique est la demi-droite représentant la fonction affine $x\mapsto x$ sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$ 
\end{itemize}
\end{demonstration}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\begin{center}
\begin{mplibcode}

repere(-3,3,0.9cm,-1,3.5,0.9cm);
 path C_va;
 C_va=_c(-3,3)--_c(0,0)--_c(3,3);
 draw quadrillage(0.5,0.5);
 draw axes(1,1);
 draw cadre;
 draw C_va withpen pencircle scaled 1;
fin;

\end{mplibcode}
\end{center}
\end{minipage}


\subsection{Positions relatives}

\begin{theoreme}
Les positions relatives des courbes représentant les fonctions $x\mapsto x^2$, $x\mapsto x$ et $x\mapsto \sqrt{x}$ sont données par les inégalités suivantes :
\begin{itemize}[leftmargin=2em]
\item Pour tout $x\in\intervalleOO{0}{1}$,\quad $x^2<x<\sqrt{x}$.
\item Pour tout $x\in\intervalleOO{1}{+\infty}$,\quad $\sqrt{x}<x<x^2$.
\end{itemize}
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
\begin{itemize}
\item Pour tout réel $x>0$, $d_1(x)=x^2-x=x(x-1)$ donc $d_1(x)$ est du signe de $x-1$ sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$.

Ainsi, $d_1(x)<0$ sur $x\in\intervalleOO{0}{1}$ et $d_1(x)>0$ sur $\intervalleOO{1}{+\infty}$.

On a donc $x^2<x$ sur $x\in\intervalleOO{0}{1}$ et $x<x^2$ sur $\intervalleOO{1}{+\infty}$.

\item Pour tout réel $x>0$, $d_2(x)=x-\sqrt{x}=\dfrac{(x-\sqrt{x})(x+\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}}=\dfrac{x^2-x}{x+\sqrt{x}}$ donc $d_2(x)$ est du signe de $x^2-x$ sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$.

D'après ce qui précède, on a donc :

$d_2(x)<0$ sur $x\in\intervalleOO{0}{1}$ et $d_2(x)>0$ sur $\intervalleOO{1}{+\infty}$.

Et ainsi : $x<\sqrt{x}$ sur $x\in\intervalleOO{0}{1}$ et $\sqrt{x}<x$ sur $\intervalleOO{1}{+\infty}$.
\end{itemize}
\end{demonstration}

Illustration :

\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(-1,6,0.95cm,-1,6,0.95cm);
vardef c(expr x)=x**2 enddef;
vardef r(expr x) = sqrt(x) enddef;
path C,R,D;
C=courbefonc(c,0,10,50);
R=courbefonc(r,0,10,50);
D=_c(0,0)--_c(10,10);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
draw C epaisseur 1;
draw D epaisseur 1;
draw R epaisseur 1;
nomme.lrt(R,4,LaTeX("$x\mapsto\sqrt{x}$"));
nomme.lrt(D,4.5,LaTeX("$x\mapsto x$"));
nomme.ulft(C,2.3,LaTeX("$x\mapsto x^2$"));
draw cadre;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}

\section{Opérations sur les fonctions}

\subsection{Définitions}


\begin{definition}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies sur $D$ et $k$ un réel.
On définit les fonctions $u+v$, $uv$, $k u$, $u+k$, $\dfrac{1}{v}$, $\dfrac{u}{v}$ et $\sqrt{u}$, de la façon suivante :

\begin{center}
\begin{tabular}{llll}
$(u+v)(x)=u(x)+v(x)$ & $(uv)(x)=u(x)\times v(x)$ & $(k u)(x)=k \times u(x)$ & $(u+k)(x)=u(x)+k$ \\
  $\left(\dfrac{1}{v}\right)(x)=\dfrac{1}{v(x)}$ &$\left(\dfrac{u}{v}\right)(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ & $(\sqrt{u})(x)=\sqrt{u(x)}$ &
\end{tabular}

\end{center}
Pour la dernière, $u(x)$ doit être positif ou nul et pour les 2 précédentes $v(x)$ doit être différent de $0$.
\end{definition}

\begin{exemple}
Soit $u$ et $v$ les fonctions définies sur $\R$ par $u(x)=x^{2}$ et $v(x)=x+3$. Déterminer $u+v$, $uv$, $2u$, $u+2$ et $\sqrt{u+v}$.
\end{exemple}

\begin{repex}
\begin{itemize}
\item Pour tout réel $x$, $(u+v)(x)=x^{2}+x+3$ ; $(uv)(x)=x^{2}(x+3)=x^{3}+3x^{2}$ ; $(2u)(x)=2x^{2}$

et $(u+2)(x)=x^{2}+2$
\item Pour tout réel $x$, $(u+v)(x) >0$ donc $(\sqrt{u+v})(x)=\sqrt{x^2+x+3}$ 
\end{itemize}
\end{repex}

\subsection{Variations}
\begin{theoreme}
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $k$ un réel.

Si $u$ est monotone sur $I$ alors $u$ et $u+k$ ont même sens de variation sur $I$.
\end{theoreme}


\begin{demonstration}
Cas où $u$ est strictement croissante

Soient $a$ et $b$ deux réels de $I$.

{\centering
$\begin{aligned}
a < b &\Longrightarrow u(a) < u(b) \text{ (car $u$ est strictement croissante sur $I$)}\\
& \Longrightarrow u(a)+k < u(b)+k
\end{aligned} $\par}

La fonction $u+k$ est donc croissante sur $I$.

On raisonne de la même façon si $u$ est décroissante
\end{demonstration}

%\subsection{Sens de variation de la fonction $k u$}
\begin{theoreme}
Soit $u$ une fonction définie et monotone sur un intervalle $I$ et $k$ un réel non nul.
\begin{itemize}
\item Si $k >0$ alors les fonctions $u$ et $k u$ ont même sens de variation sur $I$.
\item Si $k <0$ alors les fonctions $u$ et $k u$ ont des sens de variation contraires sur $I$.
\end{itemize}
\end{theoreme}


\begin{demonstration}
Cas où $u$ est strictement croissante

Soient $a$ et $b$ deux réels de $I$.

\bigskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Si $k>0$

{\centering
$\begin{aligned}
a < b &\Longrightarrow u(a) < u(b) \\
&\text{ (car $u$ est strictement croissante sur $I$)}\\
& \Longrightarrow ku(a) \leqslant ku(b)
\end{aligned}$\par}

$ku$ est donc strictement croissante sur $I$.
\end{minipage}%
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Si $k<0$

{\centering
$\begin{aligned}
a < b &\Longrightarrow u(a) < u(b) \\
&\text{ (car $u$ est strictement croissante sur $I$)}\\
& \Longrightarrow ku(a) > ku(b)
\end{aligned}$\par}

$ku$ est donc strictement décroissante sur $I$.
\end{minipage}

\bigskip
On  raisonne de la même façon si $u$ est décroissante.
\end{demonstration}

\begin{theoreme}
Soit $u$ une fonction définie, positive sur un intervalle $I$.

Si $u$ est monotone sur $I$ alors $u$ et $\sqrt{u}$ ont même sens de variation sur $I$.
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
Cas où $u$ est strictement croissante

Soient $a$ et $b$ deux réels de $I$.

{\centering
$\begin{aligned}
a < b &\Longrightarrow 0<u(a) < u(b) \text{ (car $u$ est strictement croissante sur $I$)}\\
& \Longrightarrow \sqrt{u(a)} < \sqrt{u(b)} \text{ (car la fonction racine carrée est strictement croissante sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$)}
\end{aligned} $\par}


La fonction $\sqrt{u}$ est donc croissante sur $I$.

On raisonne de la même façon si $u$ est décroissante
\end{demonstration}

\begin{theoreme}
Soit $u$ une fonction définie et qui ne s'annule pas et ne change pas de signe sur un intervalle $I$.

Si $u$ est monotone sur $I$ alors $u$ et $\dfrac{1}{u}$ ont des sens de variation contraires sur $I$.
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
Cas où $u$ est strictement croissante et positive.

Soient $a$ et $b$ deux réels de $I$.

{\centering
$\begin{aligned}
a < b &\Longrightarrow 0<u(a) < u(b) \text{ (car $u$ est strictement croissante sur $I$)}\\
& \Longrightarrow \dfrac{1}{u(a)} > \dfrac{1}{u(b)} \text{ (car la fonction inverse est strictement décroissante sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$)}
\end{aligned} $\par}


La fonction $\dfrac{1}{u}$ est donc strictement décroissante sur $I$.

On raisonne de la même façon si $u$ est décroissante.
\end{demonstration}

