\chapter{Fonctions numériques}

\section{Rappels}
\subsection{Variations des fonctions}



\begin{definition}
Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $I$ un intervalle de $D$.

On dit que $f$ est \motdef{strictement croissante} sur $I$ lorsque, quels que soient les nombres $a$ et $b$ de $I$ :
	\[\text{si } \quad a < b \quad  \text{ alors } \quad  f(a) < f(b)\]
On dit que $f$ est \motdef{strictement décroissante} sur $I$ lorsque, quels que soient les nombres $a$ et $b$ de $I$ :
	\[\text{si } \quad a < b \quad \text{ alors } \quad f(a) > f(b)\]
\end{definition}

Remarque : On dit aussi qu'une fonction est croissante si deux nombres et leurs images sont rangés dans le même ordre ($a < b$ et $f(a) < f(b)$) et qu'une fonction est décroissante si deux nombres et leurs images sont rangés dans l'ordre inverse ($a < b$ et $f(a) > f(b)$).


\vspace{1ex}

Illustration :

\vspace{1ex}
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
u:=0.6cm;
repere(-2,6,u,-1,5,0.8u);
draw axes(1,0);
draw _c(-1.2,-0.2).._c(0,0.5).._c(0.5,1.2).._c(2,2).._c(3.4,3).._c(5,4) withcolor red epaisseur 1;
draw projectionaxes(_c(0.5,1.2),LaTeX("$a$"),LaTeX("$f(a)$")) dashed evenly;
draw projectionaxes(_c(3.4,3),LaTeX("$b$"),LaTeX("$f(b)$")) dashed evenly;
draw cadre;
fin;
\end{emp}
\end{center}
$f$ est strictement croissante car pour tout $a$ inférieur à $b$, $f(a)$ est aussi inférieur à $f(b)$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
u:=0.6cm;
repere(-2,6,u,-1,5,0.8u);
draw axes(1,0);
draw _c(-1.2,4.2).._c(0,3.5).._c(0.5,2.8).._c(2,2).._c(3.4,1).._c(5,0) withcolor 0.5green epaisseur 1;
draw projectionaxes(_c(0.5,2.8),LaTeX("$a$"),LaTeX("$f(a)$")) dashed evenly;
draw projectionaxes(_c(3.4,1),LaTeX("$b$"),LaTeX("$f(b)$")) dashed evenly;
draw cadre;
fin;
\end{emp}
\end{center}
$f$ est strictement décroissante car pour tout $a$ inférieur à $b$, $f(a)$ est supérieur à $f(b)$.
\end{minipage}


%\subsubsection{Tableau de variations}
%
%
%\begin{definition}
%Une fonction peut être croissante sur un intervalle et décroissante sur un autre. Pour résumer ces résultats, on les présente dans un tableau appelé \motcache{tableau de variations} de la fonction.
%\end{definition}
%
%
%\begin{exemple}
%Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ définie sur $\intervalleFF{-2}{5,5}$ représentée ci-dessous.
%\end{exemple}
%
%
%\begin{emp}(0,0)
%u:=0.7cm;
%repere(-2.5,5.8,u,-3,7,0.6u);
%draw axes(1,1);
%draw _c(-2,-2).._c(-1,4).._c(0,6){(1,0)}.._c(1,5).._c(2,2).._c(3,-1).._c(4,-2){(1,0)}.._c(5,0).._c(5.5,2) withcolor red epaisseur 1;
%label.lft(LaTeX("$C_f$"),_c(5.5,2)) withcolor red;
%draw cadre;
%fin;
%\end{emp}


\subsection{Fonctions affines}

%\subsubsection{Définitions}



\begin{definition}
On appelle \motdef{fonction affine} toute fonction de la forme $x \mapsto  ax+b$ où $a$ et $b$ sont des réels fixés.
\end{definition}


%\begin{exemple}
%\rule{0pt}{0pt}\par
%\begin{itemize}
%\item $f:x \mapsto x+1$ \; \motcache{est une fonction affine.}
%\item $g:x \mapsto -3x+2$ \; \motcache{est une fonction affine.}
%\item $h:x \mapsto 3x^2-1$ \; \motcache{n'est pas une fonction affine.}
%\end{itemize}
%
%\end{exemple}

%\vspace{\baselineskip}
%\begin{definition}
%Dans le cas où $b=0$, on dit que la fonction est \motcache{linéaire}. (Ce sont donc des fonctions affines particulières.)
%\end{definition}
%
%
%\begin{exemple}
%$\ell:x\mapsto2x$  \; \motcache{est une fonction linéaire.}
%\end{exemple}


%\subsubsection{Variation et représentation graphique}


\begin{theoreme}
Soit $f$ une fonction affine définie par $f(x)=ax+b$.


\begin{itemize}
\item Si $a>0$ alors $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\item Si $a=0$ alors $f$ est constante sur $\R$.
\item Si $a<0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
\end{itemize}

\end{theoreme}

%\begin{exemple}
%Déterminer le sens de variation des fonctions $f$, $g$ et $\ell$ précédentes.
%\end{exemple}
%
%\begin{repex}
% \motcache{$\frac{1}{2}>0$ donc  $f$ est strictement croissante sur $\R$.\quad\quad}
%
% \motcache{$-3<0$ donc  $g$ est strictement décroissante sur $\R$.}
%
% \motcache{$2>0$ donc  $\ell$ est strictement croissante sur $\R$.\quad\quad}
%\end{repex}




\begin{theoreme}
Soit $f$ une fonction affine définie par $f(x)=ax+b$.

La représentation graphique de $f$ dans un repère est la \motdef{droite} d'équation $y=ax+b$. Dans le cas où $f$ est linéaire (c'est-à-dire si $b=0$), cette droite passe par \motdef{l'origine du repère}.
\end{theoreme}

\begin{exemple}
Tracer les représentations graphiques des fonctions $f$, $g$ et $\ell$ précédentes.
\end{exemple}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
repere(-4,5,0.7cm,-4,5,0.7cm);
 draw quadrillage(1,1);
 draw axes.llft(1,1);
 draw cadre;
fin;
\end{emp}
\end{center}
\end{minipage}
%\hfill
%\begin{minipage}{0.5\linewidth}
% \begin{repex}
%  \textbullet La représentation graphique de la fonction $f$ est  la droite d'équation $y=x+1$ 
%  
%  \textbullet La représentation graphique de la fonction $g$ est   la droite d'équation $y=-3x+2$ 
%  
%  \textbullet La représentation graphique de la fonction $\ell$ est   la droite d'équation $y=2x$
%
%\end{repex}
%\end{minipage}

\subsection{Fonction carré}
%\subsubsection{Définition}


\begin{definition}
On appelle \motdef{fonction carré} la fonction définie sur $\R$ par $x \mapsto x^2$.
\end{definition}


\subsubsection{Propriétés}


\begin{theoreme}
La fonction carré est strictement décroissante sur $\intervalleOF{-\infty}{0}$ ; elle est strictement croissante sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$.
\end{theoreme}


\begin{minipage}{0.3\linewidth}
Si $a<b\leqslant0$ alors $a^2>b^2$

\vspace{1ex}
Si $0\leqslant a<b$ alors $a^2<b^2$
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.5,
Variations\\
de $x\mapsto x^2$ /1.75
}
{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
            \tkzTabVar{+/ ,-/$0$ ,+/}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}




%\begin{theoreme}
%\begin{itemize}
%\item Pour tout $x\in\R$ , $x^2\geqslant 0$.
%\item Pour tout $x\in\R$, $(-x)^2=x^2$. On dit que la fonction carré est \motdef{paire}.
%\end{itemize}
%\end{theoreme}


%\subsubsection{Courbe}


\begin{definition}
La représentation graphique de la fonction carré dans un repère orthogonal est une courbe appelée \motdef{parabole}. Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\end{definition}

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
vardef f(expr x)=x**2 enddef;
repere(-2.5,2.5,0.9cm,-1,4.5,0.9cm);
 path C_f;
 C_f=courbefonc(f,-2.5,2.5,50);
 draw quadrillage(0.5,0.5);
 draw axes(1,1);
 draw cadre;
 drawoptions(withcolor blue);
 draw C_f epaisseur 1;
 %marquepointcourbe(C_f,-2,-1,-1.5,-0.5,0,0.5,1,1.5,2);
fin;
\end{emp}
\end{center}



\subsection{Fonction inverse}
%\subsubsection{Définition}


\begin{definition}
On appelle \motdef{fonction inverse} la fonction définie sur $\R^*$ par $x \mapsto \dfrac{1}{x}$.
\end{definition}


\subsubsection{Propriétés}


\begin{theoreme}
La fonction inverse est strictement décroissante sur $\intervalleOO{-\infty}{0}$ ; elle est aussi strictement décroissante sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$.
\end{theoreme}


\begin{minipage}{0.3\linewidth}
Si $a<b<0$ alors $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$

\vspace{1ex}
Si $0< a<b$ alors $\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}$
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.5,
Variations\\
de $x\mapsto \frac{1}{x}$ /1.75
}
{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
            \tkzTabVar{+/ ,-D+/ /,-/}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}




%\begin{theoreme}
%\begin{itemize}
%\item Pour tout $x\in\R$ , $x^2\geqslant 0$.
%\item Pour tout $x\in\R$, $(-x)^2=x^2$. On dit que la fonction carré est \motdef{paire}.
%\end{itemize}
%\end{theoreme}


%\subsubsection{Courbe}


\begin{definition}
La représentation graphique de la fonction inverse dans un repère orthogonal est une courbe appelée \motdef{hyperbole}. Elle est symétrique par rapport à l'origine du repère.
\end{definition}

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
vardef f(expr x)=1/x enddef;
repere(-3,3,1cm,-3,3,1cm);
 path C_f,C_f';
 C_f=courbefonc(f,-3,-0.2,50);
 C_f'=courbefonc(f,0.2,3,50);
 draw quadrillage(0.5,0.5);
 draw axes(1,1);
 draw cadre;
 drawoptions(withcolor blue);
 draw C_f epaisseur 1;
 draw C_f' epaisseur 1;
fin;
\end{emp}
\end{center}


\section{Deux nouvelles fonctions}

\subsection{Fonction racine carré}
%\subsubsection{Définition}


\begin{definition}
On appelle fonction \motdef{racine carrée} la fonction définie sur $\R^{+}$ par $x \mapsto \sqrt{x}$.
\end{definition}


%\subsubsection{Propriétés}


\begin{theoreme}
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $\R^{+}$.
\end{theoreme}


\begin{minipage}{0.3\linewidth}
Si $0 \leqslant a<b$ alors $\sqrt{a}<\sqrt{b}$
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=3.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.5,
Variations\\
de $x\mapsto \sqrt{x}$ /1.75
}
{$0$,$+\infty$}
            \tkzTabVar{-/$0$ ,+/ }
\end{tikzpicture}
\end{minipage}





%\subsubsection{Courbe}


\begin{definition}
La représentation graphique de la fonction racine carrée dans un repère orthogonal est une \motdef{demi-parabole}.
\end{definition}

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
vardef f(expr x)=sqrt(x) enddef;
repere(-1,9,0.8cm,-1,4,0.8cm);
 path C_f;
 C_f=courbefonc(f,0,9,50);
 ep:=0.5;
 draw quadrillage(0.5,0.5);
 draw axes(1,1);
 draw cadre;
 drawoptions(withcolor blue);
 marquepointcourbe(C_f,0,0.25,1,2.25,4,6.25,9);
fin;
\end{emp}
\end{center}



\subsection{Fonction cube}
%\subsubsection{Définition}


\begin{definition}
On appelle fonction cube la fonction définie sur $\R$ par $x \mapsto x^3$.
\end{definition}


%\subsubsection{Propriétés}


\begin{theoreme}
La fonction cube est strictement croissante sur $\R$.
\end{theoreme}


\begin{minipage}{0.3\linewidth}
Si $a<b$ alors $a^3<b^3$

\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=3.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.5,
Variations\\
de $x\mapsto x^3$ /1.75
}
{$-\infty$,$+\infty$}
            \tkzTabVar{-/ ,+/ }
\end{tikzpicture}
\end{minipage}




%\begin{theoreme}
%Pour tout $x\in\R$, $(-x)^3=-x^3$. On dit que la fonction cube est \motdef{impaire}.
%
%\end{theoreme}


%\subsubsection{Courbe}


\begin{definition}
La représentation graphique de la fonction cube dans un repère orthogonal est une courbe symétrique par rapport à l'origine du repère.
\end{definition}

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
vardef f(expr x)=x**3 enddef;
repere(-3,3,0.9cm,-8.5,8.5,0.5cm);
 path C_f;
 C_f=courbefonc(f,-2.5,2.5,50);
 draw quadrillage(0.5,0.5);
 draw axes(1,1);
 draw cadre;
 drawoptions(withcolor blue);
 marquepointcourbe(C_f,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2);
fin;
\end{emp}
\end{center}

