\documentclass[11pt,a4paper]{article}

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  \geometry{hmargin=1.7cm,vmargin={1.5cm,1.8cm},includefoot}
  

%  \setitemize{leftmargin=*}
  \setenumerate{noitemsep,leftmargin=*}
  
  \usepackage{emp}
  
  \usepackage{multicol}
    \setlength{\multicolsep}{12pt}
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  \DecimalMathComma
  \frenchbsetup{SuppressWarning}
  \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,%
              pdftitle={Second degré},%
              pdfauthor={O. Péault}%
              ]{hyperref}


\renewenvironment{exercice}[1][]%
                 {\par
                 \centering
                 % \begin{lrbox}{\boiteex}
                  \begin{minipage}{0.8\linewidth}\colorframe}%
                 {\endcolorframe\end{minipage}
                 % 
                  \par\bigskip}



\begin{document}
\typedoc{Exercices corrigés}{1}
\titre{Polynômes du second degré}
\classe{\preml}
\affichetitre
\begin{empfile}

\begin{empcmds}
    input latexmp;
    input repere;
\end{empcmds}


\section{Déterminer la forme canonique d'un polynôme du second degré}
\begin{exercice}
Déterminer la forme canonique des polynômes suivants :

\begin{enumerate*}[label={$\Alph*(x)=$},ref={\Alph*},start=16,itemjoin=\hfill,after=\hfill]
\item \label{pol1} $x^2-4x+7$
\item \label{pol2} $3x^2-9x+2$
\end{enumerate*}
\end{exercice}

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Forme canonique de $\ref{pol1}$}

On fait apparaitre une identité remarquable :

$\ref{pol1}(x)=x^2-4x+7 = \underbrace{x^2-4x+4}_{\text{Identité}}-4+7=(x-2)^2+3$

Conclusion : \fbox{$\ref{pol1}(x)=(x-2)^2+3$}

\bigskip
\bigskip

\item \textbf{Forme canonique de $\ref{pol2}$}

On utilise les propriétés de la parabole :

L'abscisse du sommet est $\frac{-(-9)}{2\times3}=\frac{3}{2}$

L'ordonnée du sommet est $\ref{pol2}\left(\frac{3}{2}\right) = 3\times\left(\frac{3}{2}\right)^2-9\times\frac{3}{2}+2 =- \frac{19}{4}$

Conclusion : \fbox{$\ref{pol2}(x)=3\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{19}{4}$}

\end{enumerate}
\end{multicols}

\section{Résoudre une équation}
\begin{exercice}
Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate*}[label={$(E_{\arabic*}):$},itemjoin=\hfill,after=\hfill]
\item \label{eq1} $-3x^2-5x+2=0$
\item \label{eq2} $4x^2-4x+1=0$
\item \label{eq3} $2x^2-5x+7=0$
\end{enumerate*}

\end{exercice}

\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Résolution de \ref{eq1}}

$\Delta=(-5)^{2}-4 \times (-3) \times 2 = 25+24=49$

$\Delta>0$ donc l'équation admet les deux solutions $\alpha_1$ et $\alpha_2$ suivantes :
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item $\alpha_1=\dfrac{-(-5)+\sqrt{49}}{2 \times (-3)}=\dfrac{5+7}{-6}=-2$
\item $\alpha_2=\dfrac{-(-5)-\sqrt{49}}{2 \times (-3)}=\dfrac{5-7}{-6}=\dfrac{1}{3}$
\end{itemize}

Conclusion : \fbox{$\cals_1=\left\{-2;\dfrac{1}{3}\right\}$}

\bigskip
\bigskip

\columnbreak
\item \textbf{Résolution de \ref{eq2}}

$\Delta=(-4)^{2}-4 \times 4 \times 1 = 16-16=0$

$\Delta=0$ donc l'équation admet l'unique solution :

$\alpha=\dfrac{-(-4)}{2 \times 4}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$

Conclusion : \fbox{$\cals_2=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}$}

\bigskip
\bigskip

\item \textbf{Résolution de \ref{eq3}}

$\Delta=(-5)^{2}-4 \times 2 \times 7 = 25-56=-31$

$\Delta<0$ donc l'équation n'admet pas de solution.

Conclusion : \fbox{$\cals_3=\varnothing$}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\section{Factoriser une expression du second degré}
\begin{exercice}
Factoriser les polynômes suivants :

\begin{enumerate*}[label={$\alph*(x)=$},start=6,itemjoin=\hfill,after=\hfill,ref=$\alph*$]
\item \label{fac1} $4x^2+7x+3$
\item \label{fac2} $-2x^2+8x-8$
\item \label{fac3} $-3x^2+5x-8$
\end{enumerate*}
\end{exercice}

\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Factorisation de \ref{fac1}}

$\Delta=7^{2}-4 \times 4 \times 3 = 49-48=1$

$\Delta>0$ donc \ref{fac1} admet les deux racines $\alpha_1$ et $\alpha_2$ suivantes :
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item $\alpha_1=\dfrac{-7+\sqrt{1}}{2 \times 4}=\dfrac{-7+1}{8}=-\dfrac{3}{4}$
\item $\alpha_2=\dfrac{-7-\sqrt{1}}{2 \times 4}=\dfrac{-7-1}{8}=-1$
\end{itemize}

Conclusion : \fbox{$f(x)=4\left(x+\dfrac{3}{4}\right)(x+1)$}

\bigskip
\bigskip

%\columnbreak
\item \textbf{Factorisation de \ref{fac2}}

$\Delta=8^{2}-4 \times (-2) \times (-8) = 64-64=0$

$\Delta=0$ donc \ref{fac2} admet l'unique racine :

$\alpha=\dfrac{-8}{2 \times (-2)}=\dfrac{-8}{-4}=2$

Conclusion : \fbox{\ref{fac2}$(x)=-2(x-2)^{2}$}

\bigskip
\bigskip

\item \textbf{Factorisation de \ref{fac3}}

$\Delta=5^{2}-4 \times (-3) \times (-8) = 25-96=-71$

$\Delta<0$ donc \fbox{on ne peut pas factoriser \ref{fac3}}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\section{Signe d'une expression du second degré - Inéquations}
\begin{exercice}Résoudre les inéquations suivantes :

\begin{enumerate*}[label={$(I_{\arabic*}):$},itemjoin=\hfill,after=\hfill,ref=$(I_{\arabic*})$]
\item \label{ineq1} $x^2-7x+10\leqslant 0$
\item \label{ineq2} $-5x^2-8x+13<0$
\item \label{ineq3} $36x^2-12x+1>0$
\end{enumerate*}
\end{exercice}

\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Résolution de \ref{ineq1}}

On pose $f(x)=x^2-7x+10$

$\Delta=(-7)^{2}-4 \times 10 \times 1 = 49-40=9$

$\Delta>0$ donc $f$ admet les deux racines $\alpha_1$ et $\alpha_2$ suivantes :
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item $\alpha_1=\dfrac{-(-7)+\sqrt{9}}{2 \times 1}=\dfrac{7+3}{2}=5$
\item $\alpha_2=\dfrac{-(-7)-\sqrt{9}}{2 \times 1}=\dfrac{7-3}{2}=2$
\end{itemize}

Le coefficient de $x^{2}$ est positif (1) donc le tableau de signe de $f$ est donné par :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=1.7,
            lgt=1.7,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe\\
de $f(x)$ /1
}
{$-\infty$,$2$,$5$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+, }
\end{tikzpicture}
\end{center}


Conclusion : \fbox{$\cals_1=\intervalleFF{2}{5}$}

\bigskip
\bigskip

\item \textbf{Résolution de \ref{ineq2}}

On pose $g(x)=-5x^2-8x+13$

$\Delta=(-8)^{2}-4 \times (-5) \times 13 = 64+260=324$

$\Delta>0$ donc $f$ admet les deux racines $\alpha_1$ et $\alpha_2$ suivantes :
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item $\alpha_1=\dfrac{-(-8)+\sqrt{324}}{2 \times (-5)}=\dfrac{8+18}{-10}=-\dfrac{13}{5}$
\item $\alpha_2=\dfrac{-(-8)-\sqrt{324}}{2 \times (-5)}=\dfrac{8-18}{-10}=1$
\end{itemize}

Le coefficient de $x^{2}$ est négatif ($-5$) donc le tableau de signe de $g$ est donné par :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=1.7,
            lgt=1.7,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe\\
de $f(x)$ /1
}
{$-\infty$,$-\frac{13}{5}$,$1$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,-,z,+,z,-, }
\end{tikzpicture}
\end{center}


Conclusion : \fbox{$\cals_2=\intervalleOO{-\infty}{-\frac{13}{5}}\cup\intervalleOO{1}{+\infty}$}


\bigskip
\bigskip

\item \textbf{Résolution de \ref{ineq3}}

On pose $h(x)=36x^2-12x+1$

$\Delta=(-12)^{2}-4 \times 36 \times 1 = 144-144=0$

$\Delta=0$ donc $h$ admet l'unique racine

$\alpha=\dfrac{-(-12)}{2 \times 36}=\dfrac{1}{6}$

Le coefficient de $x^{2}$ est positif (36) donc le tableau de signe de $h$ est donné par :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2,
            lgt=1.7,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe\\
de $f(x)$ /1
}
{$-\infty$,$\frac{1}{6}$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,+,z,+, }
\end{tikzpicture}
\end{center}


Conclusion : \fbox{$\cals_3=\intervalleOO{-\infty}{\frac{1}{6}} \cup \intervalleOO{\frac{1}{6}}{+\infty}$}


\end{enumerate}
\end{multicols}

\bigskip
\begin{exercice}
Résoudre l'inéquation suivante : \[ (I): (-2x+4)(x^2-2x-15) < 0 \]
\end{exercice}

\begin{multicols}{2}
{\centering
$(I) \Leftrightarrow f(x)\times g(x)< 0$
\par}

avec $f(x)=-2x+4$ et $g(x)=x^2-2x-15$.

Il suffit donc d'étudier le signe de $f$ et $g$.

\begin{itemize}
\item D'une part $f$ est une fonction affine de coefficient directeur négatif et qui s'annule en $2$.

\item D'autre part $g$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est positif.

$\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-15)=64$

$\Delta>0$ donc $g$ admet les deux racines $\alpha_1$ et $\alpha_2$ suivantes :
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item $\alpha_1=\dfrac{-(-2)+\sqrt{64}}{2 \times 1}=\dfrac{2+8}{2}=5$
\item $\alpha_2=\dfrac{-(-2)-\sqrt{64}}{2 \times 1}=\dfrac{2-8}{2}=-3$
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{multicols}

Tout ceci permet de dresser le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2,
            lgt=3,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe\\
de $f(x)$ /1,
Signe\\
de $g(x)$ /1,
Signe\\
de $f(x)\times g(x)$ /1
}
{$-\infty$,$-3$,$2$,$5$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,+,t,+,z,-,t,-, }
\tkzTabLine{ ,+,z,-,t,-,z,+, }
\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+,z,-, }
\end{tikzpicture}
\end{center}

Conclusion : \fbox{$\cals=\intervalleOO{-3}{2} \cup \intervalleOO{5}{+\infty}$}

\section{Faire le lien avec la représentation graphique}

\begin{exercice}
Déterminer l'expression des fonctions polynômes du second degré représentées ci-dessous :
\end{exercice}

\hfill
\begin{emp}(0,0)
u:=0.6cm;
repere(-2,6,u,-6,3,u);
 draw quadrillage(1,1);
 draw axes(1,1);
 vardef f(expr x)=x**2-4x-1 enddef;
 path p;
 p=courbefonc(f,-2,7,60);
 draw p couleur blue epaisseur 1;
 nomme.lrt(p,4.8,LaTeX("$\calc_f$")) couleur blue;
 draw cadre;
fin;
\end{emp}
\hfill
\begin{emp}(0,0)
u:=0.6cm;
repere(-6,3,u,-6,3,u);
 draw quadrillage(1,1);
 draw axes(1,1);
 vardef f(expr x)=-2*(x+1)*(x+3) enddef;
 path p;
 p=courbefonc(f,-5,2,60);
 draw p couleur blue epaisseur 1;
 nomme.ulft(p,-3.9,LaTeX("$\calc_g$")) couleur blue;
 draw cadre;
fin;
\end{emp}
\hspace{\stretch{1}}

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Expression de $f$}

$f$ est un polynôme du second degré. L'expression de $f$ en fonction de $x$ est donc, en utilisant la forme canonique : $f(x)=a\left(x-\alpha\right)^{2}+\beta$.

\begin{itemize}[leftmargin=*]
\item Par lecture graphique, on voit que le sommet de la parabole a pour coordonnées $\couple{2}{-5}$.

On en déduit : $\alpha=2$ et $\beta=-5$.

Ainsi $f(x)=a\left(x-2\right)^{2}-5$

\item Par lecture graphique, on a aussi $f(0)=-1$.

On en déduit : $a\left(0-2\right)^{2}-5=-1$ soit $4a-5=-1$ donc $4a=4$ et donc $a=1$.

\medskip
Conclusion : \fbox{$f(x)=(x-2)^2-5$}
\end{itemize}

\bigskip
\item \textbf{Expression de $g$}

On peut utiliser la méthode précédente. Il est aussi possible d'utiliser la méthode suivante :

La parabole représentant $g$ coupe deux fois l'axe des abscisses donc $g$ admet deux racines. L'expression de $g$ en fonction de $x$ est donc de la forme $g(x)=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)$.

\begin{itemize}[leftmargin=*]
\item La parabole coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-3$ et $-1$ donc les racines de $g$ sont $-3$ et $-1$.

Ainsi $g(x)=a(x+3)(x+1)$

\item Le point $S\couple{-2}{2}$ appartient à la parabole donc $g(-2)=2$.

On en déduit : $a(-2+3)(-2+1)=2$ soit $a \times 1 \times (-1)=2$ donc $-a=2$ et donc $a=-2$.
\end{itemize}

\medskip
Conclusion : \fbox{$g(x)=-2(x+3)(x+1)$}

\end{enumerate} 
\end{multicols}

\bigskip
\bigskip

\begin{exercice}
Les quatre courbes ci-dessous sont les représentations graphiques des fonctions $f$, $g$, $h$ et $k$ définies par :

$f(x)=-\dfrac{1}{4}x^{2}+2x-2$ ;\hfill
$g(x)=-\dfrac{1}{4}x^{2}-2x-2$ ;\hfill
$h(x)=\dfrac{1}{4}x^{2}-2x-2$ ;\hfill
$k(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}-4x-2$

\medskip
Associer à chaque fonction sa représentation graphique. Justifier les réponses.
\end{exercice}
\begin{center}
  \begin{emp}(0,0)
  color coul[];
  coul[1]:=0.6blue;
  coul[2]:=0.6red;
  coul[3]:=0.6(1,0,1);
repere(-8,11,0.5cm,-11,4,0.5cm);
  draw quadrillage(1,1);
  draw axes(1,1);
  vardef f(expr x)=-0.25*(x**2)+2x-2 enddef;
  vardef g(expr x)=-0.25*(x**2)-2x-2 enddef;
  vardef h(expr x)=(1/4)*(x**2)-2x-2 enddef;
  vardef k(expr x)=0.5*(x**2)-4x-2 enddef;
  path Cf,Cg,Ch,Ck;
  Cf=courbefonc(f,-8,11,60);
  Cg=courbefonc(g,-8,11,60);
  Ch=courbefonc(h,-8,11,60);
  Ck=courbefonc(k,-8,11,60);
  draw Cf epaisseur 1 couleur coul[1];nomme.ulft(Cf,-3,LaTeX("$\calc_3$")) couleur coul[1];
  draw Cg epaisseur 1 couleur coul[3];nomme.ulft(Cg,-6,LaTeX("$\calc_2$")) couleur coul[3];
  draw Ch epaisseur 1  dashed evenly; nomme.lrt(Ch,10,LaTeX("$\calc_4$"));
  draw Ck epaisseur 1 couleur coul[2];nomme.ulft(Ck,9,LaTeX("$\calc_1$")) couleur coul[2];
  draw cadre
fin;
numeric h;
\end{emp}


\end{center}

Les coefficients de $x^2$ des fonctions $f$ et $g$ sont négatifs, leurs représentations graphiques sont donc des paraboles ouvertes vers le bas. 
 $\calc_2$ et $\calc_3$ sont donc les représentations graphiques de $f$ et $g$ et par suite $\calc_1$ et $\calc_4$ sont  les représentations graphiques de $h$ et $k$.
 
 Le sommet de la parabole représentant $f$ a pour abscisse $\frac{-2}{2\times-\frac{1}{4}}=4$ et le sommet de la parabole représentant $g$ a pour abscisse $\frac{2}{2\times-\frac{1}{4}}=-4$.
 
 \fbox{$\calc_2$ est donc la représentation graphique de $g$ et $\calc_3$ la représentation graphique de $f$}
 
 
 L'image de $4$ par $h$ est $h(4)=\frac{1}{4}\times4^2-2\times4-2=-6$ et l'image de $4$ par $k$ est $k(4)=\frac{1}{2}\times4^2-4\times4-2=-10$. De plus, $\calc_1$ passe par le point $\couple{4}{-10}$ et  $\calc_4$ passe par le point $\couple{4}{-6}$. On en déduit :
 
 \fbox{$\calc_1$ est  la représentation graphique de $k$ et $\calc_4$ la représentation graphique de $h$}
 


\section{Résoudre des problèmes}

 \begin{exercice}
 Trouver deux réels dont la somme est $4$ et le produit $-5$.
 \end{exercice}

On appelle $x$ et $y$ les deux réels cherchés. $x$ et $y$ vérifient le système suivant :
$(S):\sysd{x+y=4}{xy=-5}$

\[ (S) \Leftrightarrow \sysd{&y=4-x}{&x(4-x)=-5} \Leftrightarrow \sysd{&y=4-x}{&4x-x^{2}=-5} \Leftrightarrow \sysd{&y=4-x}{&-x^{2}+4x+5=0 \quad (E)}  \]
L'équation $(E)$ est une équation du second degré que l'on peut donc résoudre :

$\Delta=4^{2}-4 \times (-1) \times 5 = 16+20=36$

$\Delta>0$ donc l'équation admet les deux solutions $\alpha_1$ et $\alpha_2$ suivantes :

\begin{itemize*}[label=\textbullet,itemjoin=\qquad\qquad]
\item $\alpha_1=\dfrac{-4+\sqrt{36}}{2 \times (-1)}=\dfrac{-4+6}{-2}=-1$
\item $\alpha_2=\dfrac{-4-\sqrt{36}}{2 \times (-1)}=\dfrac{-4-6}{-2}=5$
\end{itemize*}

En revenant au système $(S)$, on obtient donc :
\[ (S)\Leftrightarrow \sysd{&y=4-x}{&x=-1}\text{ ou }\sysd{&y=4-x}{&x=5} \quad
\quad\Leftrightarrow\quad \sysd{&y=4-(-1)}{&x=-1}\text{ ou }\sysd{&y=4-5}{&x=5} 
\quad\Leftrightarrow\quad \sysd{&y=5}{&x=-1}\text{ ou }\sysd{&y=-1}{&x=5}\]

Conclusion : \fbox{Les deux réels cherchés sont $-1$ et $5$}


\bigskip
\bigskip
\begin{exercice}
Trois nombres entiers relatifs consécutifs sont tels que si on ajoute à celui du milieu le carré du plus grand et le carré du plus petit, on obtient 30.

Quels sont ces trois nombres ?
\end{exercice}

Soit $x$ l'entier du milieu. Les deux autres sont alors $x-1$ et $x+1$.

D'après l'énoncé, $x$ vérifie l'équation : $(E):x+(x+1)^2+(x-1)^2=30$.

$(E)\Leftrightarrow x+ x^2+2x+1+x^2-2x+1-30=0 \Leftrightarrow 2x^2+x-28=0$

L'équation $(E)$ est une équation du second degré que l'on peut donc résoudre :

$\Delta=1^{2}-4 \times (-28) \times 2 = 1+224=225$

$\Delta>0$ donc l'équation admet les deux solutions $\alpha_1$ et $\alpha_2$ suivantes :
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item $\alpha_1=\dfrac{-1+\sqrt{225}}{2 \times 2}=\dfrac{14}{4}=\dfrac{7}{2}$
\item $\alpha_2=\dfrac{-1-\sqrt{225}}{2 \times 2}=\dfrac{-16}{4}=-4$
\end{itemize}

L'énoncé indique que les trois nombres sont des entiers. Le problème admet donc une unique solution et $-4$ est le nombre du milieu.

Conclusion : \fbox{Les trois nombres cherchés sont $-5$, $-4$ et $-3$.}

\bigskip
\bigskip

\begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f (x) = -0,005x^2 + 0,6x - 10$.
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Résoudre l’inéquation $f (x) > 0$.
\end{enumerate}
\item Une entreprise fabrique et vend des ordinateurs portables.

Le coût de fabrication de $x$ ordinateurs est donné par la fonction $C$ définie par $C(x) = 0,005x^2 + 0,4x + 10$, ce coût est exprimé en milliers d'euros.

L'entreprise produit entre 0 et 200 ordinateurs par jour et chaque ordinateur est vendu 1000 euros.
On suppose que toute la production est vendue.
\begin{enumerate}
\item 
On note $R(x)$ la recette, en milliers d'euros, engendrée par la vente de $x$ ordinateurs.
Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
\item  Montrer que le bénéfice, en milliers d'euros, est donné par la fonction $B$ définie sur $\intervalleFF{0}{200}$  par $B(x) = f (x) = -0, 005x^2 + 0,6x - 10$.
\item En utilisant les résultats de la première question :
\begin{itemize}
\item déterminer le bénéfice maximum de l'entreprise.
\item déterminer la quantité d'ordinateurs à fabriquer pour que le bénéfice de l'entreprise soit positif ou nul.
\end{itemize}

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{enumerate}[itemsep=12pt]
\item 
\begin{enumerate}[itemsep=12pt]
\item $f$ est un polynôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est négatif et qui change de variations en $\dfrac{-0,6}{2\times(-0,005)}=60$.

On a de plus : $f(60)=-0,005\times 60^2+0,6\times60-10=-18+36-10=8$

On obtient donc le tableau :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Variations\\
de $f$ /2
}
{$-\infty$,$60$,$+\infty$}

\tkzTabVar{-/,+/$8$,-/ }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Le discriminant de $f$ est $\Delta=0,6^2-4\times(-0,005)\times(-10)=0,16$.

$f$ admet donc les deux racines : (calculs à faire) $\alpha_1=20$ et $\alpha_2=100$

L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc \fbox{$\cals=\intervalleOO{20}{100}$}
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}[itemsep=12pt]
\item 
Chaque ordinateur est vendu 1000 euros donc 1 millier d'euros. La recette liée à la vente de ces $x$ ordinateurs est donc \fbox{$R(x)=x\times1=x$}
\item Le bénéfice est la différence entre les recettes et le coût de production donc :

 $B(x)=R(x)-C(x)=x-(0,005x^2 + 0,4x + 10) = x-0,005x^2-0,4x-10 = -0,005x^2+0,6x-10$
 
 \fbox{$B(x)=-0,005x^2+0,6x-10=f(x)$}
 \item \begin{itemize}
 \item Le tableau de variations de $f$ permet de voir que le bénéfice maximum de l'entreprise est $8$ milliers d'euros obtenu par la production et la vente de 60 ordinateurs par jour.
 \item Le bénéfice sera positif ou nul lorsque $f(x)>0$. La réponse à la question 1. permet d'affirmer que le bénéfice sera positif ou nul pour une production journalière comprise entre 20 et 100 ordinateurs.
 
 \end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{empfile}
\end{document}