\documentclass[11pt,a4paper]{article}

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%  \setitemize{leftmargin=*}
  \setenumerate{noitemsep,leftmargin=*}
  
  \usepackage{emp}
  
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  \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,%
              pdftitle={Fonctions},%
              pdfauthor={O. Péault}%
              ]{hyperref}


\renewenvironment{exercice}[1][]%
                 {\par
                 \centering
                 % \begin{lrbox}{\boiteex}
                  \begin{minipage}{0.8\linewidth}\colorframe}%
                 {\endcolorframe\end{minipage}
                 % 
                  \par\bigskip}



\begin{document}
\typedoc{Exercices corrigés}{2}
\titre{Fonctions}
\classe{\preml}
\affichetitre
 \abovedisplayskip=0.5ex
 \belowdisplayskip=0.5ex
\begin{empfile}

\begin{empcmds}
    input latexmp;
    input repere;
\end{empcmds}


\section{Fonctions et calculs}
\begin{exercice}
%\begin{multicols}{2}
On considère la fonction $f$ définie par :
 \[f : x  \mapsto -2x^{2}+3x+3\]
 \begin{enumerate}
  \item \label{fonc} 
 \begin{enumerate}
  \item Donner l'ensemble de définition $\cald_f$ de $f$.
  \item Déterminer l'image de $-2$ par $f$.
  \item Déterminer les antécédents éventuels de $1$ par $f$.
 \end{enumerate}
 \item Reprendre la question \ref{fonc} avec :
 \[f : x \mapsto \frac{3x-1}{x^{2}+2x-3}\]
 \item Reprendre la question \ref{fonc} avec :
 \[f  : x \mapsto \sqrt{-2x+3}-4\]
 \end{enumerate}
%\end{multicols}
\end{exercice}


\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[itemsep=2ex,leftmargin=*]
\item
\begin{enumerate}[itemsep=1ex,leftmargin=*]
\item L'expression de $f(x)$ en fonction de $x$ ne contient ni quotient, ni racine carrée.

\fbox{$\cald_f=\R$.}
\item L'image de $-2$ est $f(-2)$.

$f(-2)=-2 \times (-2)^{2}+3 \times (-2)+3=-8-6+3=-11$.

\fbox{L'image de $-2$ est $-11$.}
\item Les antécédents éventuels de $1$ par $f$ sont les solutions de l'équation $f(x)=1$.
\begin{align*}
 f(x)=1 & \Leftrightarrow -2x^{2}+3x+3=1\\ &\Leftrightarrow -2x^{2}+3x+2=0
 \end{align*}
Il s'agit d'une équation du second degré. Son discriminant est $\Delta=25$ et les solutions $-\frac{1}{2}$ et $2$.

\fbox{Les antécédents de $1$ par $f$ sont $-\frac{1}{2}$ et $2$.}
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[itemsep=1ex,leftmargin=*]
\item L'expression de $f(x)$ en fonction de $x$ ne peut exister que si le dénominateur est différent de $0$. On doit donc résoudre l'équation $x^{2}+2x-3=0$. C'est une équation du second degré. Son discriminant est $\Delta=16$ et les solutions $-3$ et $1$.

On a ainsi : \fbox{$\cald_f=\R\setminus\{-3;1\}$}

\item L'image de $-2$ est $f(-2)$.

$f(-2)=\dfrac{3 \times (-2)-1}{(-2)^{2}+2 \times (-2)-3}=\dfrac{-7}{-3}=\dfrac{7}{3}$.

\fbox{L'image de $-2$ est $\frac{7}{3}$.}

\item Les antécédents éventuels de $1$ par $f$ sont les solutions de l'équation $f(x)=1$.
\begin{align*}
 f(x)=1 &\Leftrightarrow \frac{3x-1}{x^{2}+2x-3}=1 \\
        &\Leftrightarrow 3x-1=x^{2}+2x-3  \\
        &\Leftrightarrow x^{2}-x-2=0
 \end{align*}
Il s'agit d'une équation du second degré. Son discriminant est $\Delta=9$ et les solutions $-1$ et $2$.

\fbox{Les antécédents de $1$ par $f$ sont $-1$ et $2$.}
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[itemsep=1ex,leftmargin=*]
\item L'expression de $f(x)$ en fonction de $x$ ne peut exister que si que si $-2x+3$ est positif ou nul.
\[ -2x+3\geqslant0 \Leftrightarrow -2x\geqslant-3 \Leftrightarrow x\leqslant \frac{-3}{-2} \Leftrightarrow x\leqslant \frac{3}{2}\]

\fbox{$\cald_f=\intervalleOF{-\infty}{\frac{3}{2}}$.}

\item L'image de $-2$ est $f(-2)$.

$f(-2)=\sqrt{-2 \times (-2)+3}-4=\sqrt{7}-4$.

\fbox{L'image de $-2$ est $\sqrt{7}-4$.}

\item Les antécédents éventuels de $1$ par $f$ sont les solutions de l'équation $f(x)=1$.
\begin{align*}
 f(x)=1 &\Leftrightarrow \sqrt{-2x+3}-4=1\\
 &\Leftrightarrow\sqrt{-2x+3}=5\\
 &\Leftrightarrow -2x+3=25\\
 & \Leftrightarrow -2x=22 \Leftrightarrow x=-11
 \end{align*}

\fbox{L'unique antécédent de $1$ par $f$ est $-11$.}
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{multicols}


\section{Lectures graphiques}
\begin{exercice}[8 points]
Les courbes représentatives $\calc_f$ et $\calc_g$ de deux fonctions $f$ et $g$ sont données ci-dessous :
\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
u:=0.6cm;
repere(-7,9,u,-3,7,u);
 path C_f,C_g;
 draw quadrillage(1,1);
 draw axesunit;
 C_f=_c((-7,6.2)..(-5,6)..(-3,5)..(-2,3)..(-1,0)..(0,-1){_I}..(2,0)..(3,1)..(5,1.5)..(7,3));
 C_g=_c((-0.825,10)..(-0.75,6)..(-0.5,4)..(0,3){(1,-1)}..(1,2)..(3,1)..(3.5,0)..(5,-2){_I}..(6,0)..(6.5,1)..(7,3)..(8,6));
 draw C_f epaisseur 1 couleur pourpre;
 draw C_g epaisseur 1 couleur marine;
 nomme.llft(C_f,-3) couleur pourpre;
 nomme.lrt(C_g,7.5) couleur marine;
 draw droite(-1) dashed evenly epaisseur 1 couleur (0.5,0,0.5);
 marquepointcourbe(C_f,7) couleur pourpre;
 marquecheminouvertdroite(C_g) couleur marine;
 draw cadre epaisseur 1;
fin;
\end{emp}
\end{center}

Répondre aux questions suivantes avec la précision permise par la figure.

\begin{enumerate}
   \item Déterminer les ensembles de définition $\cald_f$ et $\cald_g$ de $f$ et $g$.
   \item Déterminer $f(-5)$, $f(0)$ puis $g(7)$.
   \item Déterminer les antécédents de $1$ par $g$.
   \item En expliquant la méthode, résoudre l'équation $(E_1):f(x)=3$.
   \item En expliquant la méthode, résoudre l'équation $(E_2):f(x)=g(x)$.
   \item En expliquant la méthode, résoudre l'inéquation $(I_3):g(x)>3$.
   \item En expliquant la méthode, résoudre l'inéquation $(I_4):f(x)\leqslant g(x)$.
   \item Donner, dans un tableau, le signe de $f(x)$ en fonction de $x$.
   \item Dresser le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[itemsep=1ex,leftmargin=*]
   \item Les ensembles de définition de chacune des fonctions s'obtiennent en regardant l'ensemble des abscisses des points de la courbe.
   
   On a : \fbox{$\cald_f=\intervalleOF{-\infty}{7}$ et $\cald_g=\intervalleOO{-1}{8}$.}
   
   \item $f(-5)$ est l'ordonnée du point de $\calc_f$ d'abscisse $-5$. On a donc \fbox{$f(-5)=6$}. On obtient de même \fbox{$f(0)=-1$} et \fbox{$g(7)=3$}.
   \item Les antécédents de $1$ par $g$ sont les abscisses des points de $\calc_g$ d'ordonnée $1$.
   
   \fbox{Les antécédents de $1$ par $g$ sont $3$ et $6,5$.}
   \item Les solutions de l'équation $f(x)=3$ sont les abscisses des points de $\calc_f$ d'ordonnée $3$.
   
   \fbox{$\cals_1=\{-2;7\}$}
   \item Les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection de $\calc_f$ et $\calc_g$.
   
   \fbox{$\cals_2=\{3;7\}$}
   \item Les solutions de l'inéquation $g(x)>3$ sont les abscisses des points de $\calc_g$ dont l'ordonnée est strictement supérieure à $3$.
      
      \fbox{$\cals_3=\intervalleOO{-1}{0}\cup\intervalleFO{7}{8}$}
   \item Les solutions de l'inéquation $f(x)\leqslant g(x)$ sont les abscisses des points de $\calc_f$ situés en dessous de $\calc_g$ (pour des valeurs où les  fonctions sont définies).
      
      \fbox{$\cals_4=\intervalleOF{-1}{3}\cup\{7\}$}
   \item Par lecture graphique, on obtient :
   \begin{center}
   \begin{tikzpicture}
   \tikzset{t style/.style = dashed}
   \tkzTabInit[color,
               colorC=LFBcoultable1,
               colorV=LFBcoultable1,
               espcl=1.7,
               lgt=1.7,
               deltacl=0.35]
   {$x$ /0.8,
   Signe\\
   de $f(x)$ /1
   }
   {$-\infty$,$-1$,$2$,$7$}
   
   \tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+, }
   \end{tikzpicture}
   \end{center}
   
   \item Par lecture graphique, on obtient :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\footnotesize
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=1.7,
            lgt=1.75,
            deltacl=0.3]
{$x$ /0.5,
Variations\\
de $f$ /1.5
}
{$-\infty$,$0$,$7$}
\tkzTabVar{+/$ $, -/$-1$, +/$3$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\section{Lectures de tableaux}
\begin{exercice}
On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur $[-10;10]$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\footnotesize
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabColors[backgroundcolor=LFBcoultable1]
\tkzTabInit[color,
            espcl=1.35,
            lgt=1.75,
            deltacl=0.3]
{$x$ /0.5,
Variations\\
de $f$ /1.5
}
{$-10$,$-7$,$0$,$6$,$10$}
\tkzTabVar{-/$0$, +/$2$, -/$-5$, +/$5$, -/$3$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter par $<$, $>$ ou ? si on ne peut pas savoir :
\begin{colenumerate}{3}
   \item $f(1)\dots f(3)$
   \item $f(-9)\dots f(-6)$
   \item $f(7)\dots f(-2)$
   \item $f(-6)\dots 2$
   \item $f(-5)\dots f(-3)$
   \item $f(1)\dots 0$
\end{colenumerate}



\item Compléter les phrases suivantes :
	\begin{enumerate}
	\item Si $-10\leqslant a<b\leqslant -7$ alors $...... f(a) ...... f(b) ......$
	\item Si $6\leqslant a<b\leqslant 10$ alors $...... f(a) ...... f(b) ......$
	\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{enumerate}
\item La lecture du tableau donne :
\begin{colenumerate}{3}
   \item $f(1)< f(3)$
   \item $f(-9) \;\; ? \; f(-6)$
   \item $f(7)> f(-2)$
   \item $f(-6)< 2$
   \item $f(-5)> f(-3)$
   \item $f(1)\;\; ? \; 0$
\end{colenumerate}



\item  La lecture du tableau donne :
	\begin{enumerate}
	\item Si $-10\leqslant a<b\leqslant -7$ alors $0\leqslant  f(a)< f(b)\leqslant 2$ car $f$ est croissante sur $\intervalleFF{-10}{-7}$
	\item Si $6\leqslant a<b\leqslant 10$ alors $5\geqslant f(a)>f(b)\geqslant 3$ car $f$ est décroissante sur $\intervalleFF{6}{10}$
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\section{Utilisation de la calculatrice}
\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $\intervalleFF{-2}{2}$ par : \[ f(x)=x^{3}-3x-1 \]
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, représenter la fonction $f$.
\item Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$.
\item Donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement à $10^{-2}$ près de la solution positive $\alpha$ de l'équation précédente.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[itemsep=1ex,leftmargin=*]
\item En choisissant une fenêtre d'affichage pour des abscisses entre $-2$ et $2$ et des ordonnées entre $-4$ et $3$, on obtient :
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{CourbeCalc}
\end{center}

\item La courbe coupe trois fois l'axe des abscisses donc l'équation $f(x)=0$ admet trois solutions.

\item La solution positive $\alpha$ de cette équation est comprise entre $1$ et $2$. À l'aide d'un tableau à la calculatrice (de $1$ à $2$ par pas de $0,1$), on obtient :
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{TableCalc1}
\end{center}
On en déduit que $\alpha$ est compris entre $1,8$ et $1,9$. Une nouveau tableau (de $1,8$ à $1,9$ par pas de $0,01$) donne :
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{TableCalc2}
\end{center}

\columnbreak
Conclusion : \fbox{$1,87<\alpha < 1,88$}
\end{enumerate}

\end{multicols}

\section{Variations et fonctions usuelles}
\begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[ f(x)=\left(x^{3}-8\right)^{2} \]

Démontrer que $f$ est strictement croissante sur $\intervalleFO{2}{+\infty}$ et strictement décroissante sur  $\intervalleOF{-\infty}{2}$.

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\intervalleOO{-\infty}{3}$ par : \[ g(x)=\frac{1}{\sqrt{3-x}} \]

Déterminer le sens de variation de $g$ sur $\intervalleOO{-\infty}{3}$.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[itemsep=1ex,leftmargin=*]
\item Soient $a$ et $b$ deux réels de $\intervalleFO{2}{+\infty}$.
\begin{align*}
\text{Si}\quad&2\leqslant a<b\\
 \text{alors}\quad & 8\leqslant a^{3}<b^{3}\quad
\text{\parbox[t]{3.5cm}{car la fonction cube est croissante sur $\R$}}\\
& 0 \leqslant a^{3}-8 < b^{3}-8 \\
& 0 \leqslant \left(a^{3}-8\right)^{2} <\left( b^{3}-8\right)^{2}\;
\text{\parbox[t]{2.6cm}{car la fonction carré est croissante sur $\R^{+}$}} \\
\text{ainsi}\quad&0\leqslant f(a)<f(b)
\end{align*}

Conclusion :

\fbox{$f$ est strictement croissante sur $\intervalleFO{2}{+\infty}$.}

\bigskip

Soient $a$ et $b$ deux réels de $\intervalleOF{-\infty}{2}$.

\end{enumerate}
\begin{align*}
\text{Si}\;& a<b\leqslant 2\\
 \text{alors}\; & a^{3}<b^{3} \leqslant 8\quad
\text{\parbox[t]{3.5cm}{car la fonction cube est croissante sur $\R$}}\\
& a^{3}-8 < b^{3}-8\leqslant 0 \\
& \left(a^{3}-8\right)^{2} >\left( b^{3}-8\right)^{2}\geqslant 0\;
\text{\parbox[t]{3cm}{car la fonction carré est décroissante sur $\R^{-}$}} \\
\text{ainsi}\quad&f(a)>f(b)\geqslant 0
\end{align*}
Conclusion :

\fbox{$f$ est strictement décroissante sur $\intervalleFO{2}{+\infty}$.}
\columnbreak


\begin{enumerate}[resume]
\item Soient $a$ et $b$ deux réels de $\intervalleOO{-\infty}{3}$.
\begin{align*}
\text{Si}\quad& a<b<3\\
\text{alors}\quad & -a > -b > -3 \\
                  &3-a > 3-b > 0 \\
  & \sqrt{3-a}>\sqrt{3-b}>0\quad
\text{\parbox[t]{3cm}{car la fonction racine carrée est croissante sur $\R^{+}$}}\\
&\frac{1}{\sqrt{3-a}}<\frac{1}{\sqrt{3-b}}\quad
\text{\parbox[t]{3.5cm}{car la fonction inverse est décroissante sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$}} \\
\text{ainsi}\quad&f(a)<f(b)
\end{align*}

Conclusion :

\fbox{$f$ est strictement croissante sur $\intervalleOO{-\infty}{3}$.}

\end{enumerate}
\end{multicols}


%\section{Positions relatives de courbes}
%\begin{exercice}
%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x-1$ et $g$ la fonction définie sur $\R\setminus\{1\}$ par $g(x)=\dfrac{6}{x-1}$.
%
%On appelle $\calc_f$ et $\calc_g$ les courbes représentatives de ces deux fonctions dans un repère.
%
%Déterminer, en fonction de $x$, les positions relatives de $\calc_f$ et $\calc_g$.
%\end{exercice}
%
%Pour obtenir les positions relatives de $\calc_f$ et $\calc_g$, il faut étudier le signe de la différence $d(x)=f(x)-g(x)$ en fonction de $x$.
%
%Si $d(x)$ est positif alors $\calc_f$ est au dessus de $\calc_g$ et si $d(x)$ est négatif alors $\calc_f$ est en dessous de $\calc_g$ .
%
%\bigskip
%
%On a $d(x)=f(x)-g(x)=2x-1-\dfrac{6}{x-1}=\dfrac{(2x-1)(x-1)}{x-1}-\dfrac{6}{x-1}= \dfrac{2x^2-2x-x+1-6}{x-1} = \dfrac{2x^2-3x-5}{x-1}$
%
%\bigskip
%Le dénominateur est une fonction affine qui s'annule en $1$, on connaît donc son signe.
%
%Le numérateur est un polynôme du second degré. On peut donc aussi connaître son signe à partir de ses racines.
%
%$\Delta=(-3)^2-4\times 2 \times (-5)=49>0$. Ce polynôme admet deux racines :
%\begin{itemize}[label=\textbullet]
%\item $\alpha_1=\dfrac{-(-3)+\sqrt{49}}{2 \times 2}=\dfrac{3+7}{4}=\dfrac{5}{2}$
%\item $\alpha_2=\dfrac{-(-3)-\sqrt{49}}{2 \times 2}=\dfrac{3-7}{4}=-1$
%\end{itemize}
%
%\newpage
%On en déduit le tableau de signe ci-dessous :
%\newcommand{\dessus}{\parbox{2cm}{$\calc_f$ est au dessus de $\calc_g$}}
%
%    \begin{center}
%    \begin{tikzpicture}
%    \tikzset{t style/.style = dashed}
%    \tkzTabInit[color,
%                colorC=LFBcoultable1,
%                colorV=LFBcoultable1,
%                espcl=2.2,
%                lgt=2.5,
%                deltacl=0.35]
%    {$x$ /0.8,
%    Signe de\\
%    $x-1$ /1,
%    Signe de\\
%    $2x^2-3x-5$ /1,
%    Signe de\\
%    $d(x)$ /1
%    }
%    {$-\infty$,$-1$,$1$,$\frac{5}{2}$,$+\infty$}
%    
%    \tkzTabLine{ ,-,t,-,z,+,t,+, }
%    \tkzTabLine{ ,+,z,-,t,-,z,+, }
%    \tkzTabLine{ ,-,z,+,d,-,z,+, }
%    \end{tikzpicture}
%    \end{center}
%
%Conclusion :
%
%\fbox{\begin{minipage}{10cm}
%\begin{itemize}
%\item Si $x\in\intervalleFO{-1}{1} \cup \intervalleFO{\frac{5}{2}}{+\infty}$ alors $\calc_f$ est au dessus de $\calc_g$.
%\item Si $x\in\intervalleOF{-\infty}{-1} \cup \intervalleOF{1}{\frac{5}{2}}$ alors $\calc_f$ est en dessous de $\calc_g$.
%\end{itemize}
%\end{minipage}
%}

\end{empfile}
\end{document}