\documentclass[10pt,twoside,french]{article}

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              pdftitle={Exercices sur les vecteurs colinéaires},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}

\begin{document}
 \titre{Vecteurs et colinéarité}
 \classe{\scd}
 \typedoc{Exercices}{}
\affichetitre

\abovedisplayskip=0.5ex
\belowdisplayskip=0.5ex

\begin{empfile}

 \begin{empcmds}
    input latexmp;
    input repere;
 \end{empcmds}

\vspace{-0.5em}

\begin{multicols}{2}
\consigne{Dans les exercices \ref{deb} à \ref{fin}, on se place dans un repère $\oij$.}

\begin{exercice}\label{deb}
Déterminer si les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont colinéaires dans les cas suivants :
\begin{enumerate}
   \item $\vect{u}\cp{4}{-10}$ et $\vect{v}\cp{-6}{15}$
   \item $\vect{u}\cp{2}{-6}$ et $\vect{v}\cp{-4}{-12}$
   \item $\vect{u}\cp{\frac{3}{11}}{-\frac{2}{5}}$ et $\vect{v}\cp{-\frac{5}{11}}{\frac{2}{3}}$
   \item $\vect{u}\cp{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3+\sqrt{6}}$ et $\vect{v}\cp{3-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}
   Déterminer si les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles dans les cas suivants :
   \begin{enumerate}
      \item $A\couple{8}{5}$, $B\couple{2}{2}$, $C\couple{-3}{0}$, $D\couple{5}{4}$ ;
      \item $A\couple{-2}{3}$, $B\couple{0}{2}$, $C\couple{3}{-1}$, $D\couple{-1}{2}$ ;
      \item $A\couple{2}{1}$, $B\couple{5}{-3}$, $C\couple{0}{3}$, $D\couple{6}{-5}$.
   \end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}
   Déterminer si les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés dans les cas suivants :
   \begin{enumerate}
      \item $A\couple{2}{3}$, $B\couple{5}{7}$, $C\couple{-7}{-9}$ ;
      \item $A\couple{5}{7}$, $B\couple{0}{1}$, $C\couple{-\frac{3}{4}}{0}$ ;
      \item $A\couple{1}{1}$, $B\couple{-2}{-1}$, $C\couple{\frac{5}{2}}{2}$ ;
      \item $A\couple{3}{4}$, $B\couple{-7}{-3}$, $C\couple{0}{2}$.
   \end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}
   Déterminer $x$ pour que les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ soient colinéaires.
   \begin{colenumerate}{2}
      \item $\vect{u}\cp{-1}{3}$ et $\vect{v}\cp{x}{2+x}$ ;
      \item $\vect{u}\cp{2}{4}$ et $\vect{v}\cp{-x}{3x}$ ;
      \item $\vect{u}\cp{x-2}{1}$ et $\vect{v}\cp{9}{x-2}$.
   \end{colenumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}
 On considère les points :
 \[A\couple{2}{3}, \quad B\couple{5}{7}, \quad C\couple{-6}{-8}, \quad D\couple{-3}{1}\]
 \begin{enumerate}
  \item Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
  \item $\vect{u}$ a pour abscisse $4$ et pour ordonnée $y_{\vect{u}}$. Déterminer $y_{\vect{u}}$ sachant que $\vect{AC}$ et $\vect{u}$ sont colinéaires.
  \item $F$ a pour abscisse $x_F$ et pour ordonnée $4$. Déterminer $x_F$ sachant que $A$, $B$ et $F$ sont alignés.
  \item $G$ a pour abscisse $x_G$ et pour ordonnée $7$. Déterminer $x_G$ sachant que $(AB)$ et $(DG)$ sont parallèles.
 \end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}\label{fin}
 On considère les points :
\[A\couple{3}{0}, \enspace B\couple{-3}{-1}, \enspace C\couple{-1}{2}, \enspace G\couple{-5}{\frac{1}{2}}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
\item Calculer les coordonnées de $I$, centre de $ABCD$.
\item Calculer les coordonnées de $E$ tel que : \[\vect{AE}=\vect{AB}+\dfrac{3}{2}\vect{BC}+\dfrac{3}{4}\vect{CA}\]
\item Démontrer que $B$, $E$ et $D$ sont alignés.
\item Calculer les coordonnées de $F$ tel que : \[\vect{FG}=2\vect{FC}\]
\item Démontrer que $(BC)$ et $(OF)$ sont parallèles.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
   Soit $ABC$ un triangle. Le point $D$ est défini par : \[\vect{AD}=4\vect{AC}-3\vect{AB}\]
   \begin{enumerate}
      \item Faire une figure.
      \item On pose $\vect{\imath}=\vect{AB}$ et $\vect{\jmath}=\vect{AC}$. Donner les coordonnées de tous les points de la figure dans le repère $\repere{A}{\imath}{\jmath}$.
      \item Démontrer que $B$, $C$ et $D$ sont alignés.
   \end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}
      Soit $ABC$ un triangle. Les points $M$ et $N$ sont définis par : \[\vect{AM}=3\vect{AC}-\vect{AB} \qquad\text{et}\qquad \vect{AN}=\vect{BC}-\vect{AC}\]
   \begin{enumerate}
      \item Faire une figure.
      \item Donner les coordonnées de tous les points de la figure dans le repère $\repere{A}{AB}{AC}$.
      \item Démontrer que $(MN)$ et $(AC)$ sont parallèles.
   \end{enumerate}

\end{exercice}



\begin{exercice}
Soit $ABC$ un triangle. Les points $M$, $N$ et $P$ sont définis de la façon suivante :

$M$ est le symétrique de $A$ par rapport à $C$,

 $\vect{BN}=\dfrac{1}{2}\vect{BC}+2\vect{BA}$\quad et\quad $\vect{BP}=3\vect{CP}$.

\begin{enumerate}
 \item Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure dans le repère $\repere{A}{AB}{AC}$.
 \item Démontrer que $M$, $N$ et $P$ sont alignés.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}
     $ABCD$ est un parallélogramme. Les points $E$ et $F$ sont définis par :
      \[\vect{DE}=\frac{1}{3}\vect{DB} \qquad \text{et} \qquad \vect{DF}=-\frac{1}{4}\vect{DB}\]
      Les points $G$ et $H$ sont tels que $BAEG$ et $BAFH$ soient des parallélogrammes.
  
  Démontrer, en utilisant un repère, que les points $C$, $G$ et $H$ sont alignés.
\end{exercice}

\begin{exercice}
     $ABCD$ est un parallélogramme. Les points $M$, $N$ et $P$ sont définis par :
\begin{gather*}
\vect{MA}-2\vect{MB}=\vect{AC},  \qquad  \vect{BN}=2\vect{BC}, \\
-\vect{PA}+2\vect{PB}+2\vect{PC}=\vect{CD}
\end{gather*}
  
  Démontrer, en utilisant un repère, que les droites $(MN)$ et $(CP)$ sont parallèles.
\end{exercice}


\end{multicols}


\end{empfile}
\end{document}
