\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}

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              unicode,%
              pdftitle={Compléments sur la dérivation},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}

\begin{document}
 \titre{Dérivation : compléments}
 \classe{\prems}
 \typedoc*{Exercices}{}
 \date{21 novembre 2018}
 
\affichetitre
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 \belowdisplayskip=0.5ex

\vspace{-\baselineskip}

\begin{multicols}{2}
\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction dont la courbe représentative est donnée ci-dessous :
\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere.orth(-4,10,7.5cm,-3,5);
defaultscale:=0.9;
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
vardef f(expr x)=3*(x+2)*((x-6)**3)/512 enddef;
draw courbefonc(f,-4,10,60) epaisseur 1 couleur violet;
draw cadre;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}

Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de $f'$, déterminer laquelle.
\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere.orth(-3,8,6cm,-3,4);
defaultscale:=0.9;
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
vardef f(expr x)=3*(x**2)*(6-x)/64 enddef;
draw courbefonc(f,-3,8,60) epaisseur 1 couleur 0.5bleu;
draw cadre;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}
\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere.orth(-3,8,6cm,-4,2);
defaultscale:=0.9;
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
vardef f(expr x)=3*x*((6-x)**2)/128 enddef;
draw courbefonc(f,-3,8,60) epaisseur 1 couleur 0.5bleu;
draw cadre;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}
\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere.orth(-3,8,6cm,-4,3);
defaultscale:=0.9;
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
vardef f(expr x)=3*(x**3)*(6-x)/256 enddef;
draw courbefonc(f,-3,8,60) epaisseur 1 couleur 0.5bleu;
draw cadre;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}
\end{exercice}
 
 
 \begin{exercice}
 Dans chacun des cas suivants, déterminer s'il existe une tangente à la courbe représentative de $f$ qui passe par le point $A$.
 \begin{enumerate}
 \item $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2+5x$ et $A\couple{1}{5}$
 \item $f$ définie sur $\R\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x}{1-x}$ et $A\couple{-2}{1}$
 \item $f$ définie sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$ par $f(x)=x+2\sqrt{x}$ et $A\couple{0}{2}$
 
 \end{enumerate}
 \end{exercice}
 
 
\begin{exercice}
Soit $f$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(-1,3,1.2cm,-1,7,0.6cm);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
vardef f(expr x)=3*(x**2)-2x+1 enddef;
path C;
C=courbefonc(f,-1,3,60);
draw C epaisseur 1 couleur 0.5blue;
draw droite(4,-2) epaisseur 1 couleur violet;
pair A;
A=_c(1,2);
nomme.lrt(A);
draw cadre;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement $f(0)$, $f(1)$ et $f'(1)$.
\item En déduire l'expression de $f(x)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x)=(x-4)\sqrt{x}+2x \]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est dérivable sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ et calculer sa dérivée.
\item Soit $u$ la fonction définie sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ par : \[ u(x)=3x+4\sqrt{x}-4 \]
Factoriser $u(x)$.
\item En déduire le signe de $f'$ et les variations de $f$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
On considère $u$ et $v$ deux fonctions dérivables et positives sur un intervalle $I$
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que si $u$ et $v$ sont croissantes sur $I$ alors $uv$ est croissante sur $I$.
\item Quel résultat obtient-on si $u$ et $v$ sont décroissantes sur $I$ ?
\item Que peut-on dire si $u$ est croissante sur $I$ et $v$ décroissante sur $I$ ?
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}
Soit $g$ la fonction définie sur $I=\intervalleFO{0}{+\infty}$ par :
\[ g(x)=\frac{4\sqrt{x}}{x+1} \]
Démontrer que pour tout $x$ de $I$ : \[ 0\leqslant g(x) \leqslant 2 \]
\end{exercice}


\begin{exercice}
On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies et dérivables sur $I=\intervalleFO{0}{+\infty}$.

On suppose que :
\begin{itemize}[leftmargin=2em]
\item $f(0)=g(0)$
\item Pour tout $x$ de $I$, $f'(x)\leqslant g'(x)$
\end{itemize}

Démontrer que pour tout $x$ de $I$, $f(x)\leqslant g(x)$
\end{exercice}

\begin{exercice}
Une personne désire clôturer un terrain rectangulaire de $\SI{450}{m^2}$ dont un côté s'appuie sur un mur, ce côté ne nécessitant pas de clôture.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);
repere(-1,6,1cm,0,4,1.2cm);
path mur;
mur = _c(-1,3.5)--_c(-1,4)--_c(6,4)--_c(6,3.5)--cycle;
fill mur avec briques();
draw mur;
pair A,B,C,D;
numeric t;
t=1;
A=_c(-1+t,3.5);B=_c(-1+t,1.5);
C=_c(6-t,1.5);D=_c(6-t,3.5);
draw A--B--C--D epaisseur 1;
label.lft(LaTeX("$x$"),0.5[A,B]);
label.bot(LaTeX("$y$"),0.5[C,B]);
fin;
endfig;
\end{mplibcode}
\end{center}

Déterminer les dimensions $x$ et $y$ du terrain pour que la longueur de la clôture soit minimale.

\end{exercice}


\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=1-x^2$.

La tangente en un point $M$ de coordonnées $\couple{a}{f(a)}$, avec $a$ et $f(a)$ strictement positifs, à la parabole représentant $f$ coupe l'axe des abscisses $(Ox)$ en $A$ et l'axe des ordonnées $(Oy)$ en $B$.

Déterminer les coordonnées de $M$ pour que l'aire du triangle $OAB$ soit minimale.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(-1.5,2,1.7cm,-1.5,2,1.7cm);
vardef f(expr x)= 1-(x**2) enddef;
path C,T;
C=courbefonc(f,-2,2,60);
pair M,A,B;
numeric x;
x=0.4;
M=_c(x,f(x));
T= tangente(C,x);
B=_c(0,(x**2)+1);
A=_c(whatever,0)=whatever[B,M];
fill A--B--_c(0,0)--cycle withcolor grisclair;
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
draw C epaisseur 1 couleur 0.5bleu;
draw T epaisseur 1;
nomme.urt(M);
nomme.urt(A);nomme.urt(B);
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}


\end{exercice}

\begin{exercice}
$ABCD$ est un carré de côté $1$. $M$ est un point du segment $\left[AB\right]$.

Sur la demi-droite portée par $\left(BC\right)$ d'origine $C$ et ne contenant pas $B$, on place le point $N$ tel que $CN=AM$. La droite  $\left(MN\right)$ coupe la droite $\left(DC\right)$ en $P$.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);
repere.orth(-1,5,6cm,-1,3.5);
pair A,B,C,D,M,N,P;
A=_c(0,3);B=_c(0,0);D=_c(3,3);
C-B=D-A;
numeric t;
t=0.4;
M=t[A,B];N=(1+t)[B,C];
P=whatever[M,N]=whatever[C,D];
draw A--B--C--D--cycle epaisseur 1;
draw M--N epaisseur 1;
draw C--N epaisseur 1;
marque_p:="";
nomme.ulft(A);nomme.llft(B);
nomme.bot(C);nomme.urt(D);
nomme.lft(M);nomme.urt(P);
nomme.rt(N);
draw marquesegment(A,M,2);
draw marquesegment(C,N,2);
fin;
endfig;
\end{mplibcode}
\end{center}

Placer $M$ pour que la distance $PC$ soit maximale.
\end{exercice}


\begin{exercice}
Pour conditionner du lait dans des emballages en forme de brique de 1 litre, un distributeur souhaite que la surface de base du parallélépipède rectangle soit un carré de côté $x$ (l'unité est le \si{dm}). On note $h$ la hauteur de ce parallélépipède.

\begin{enumerate}

\item Exprimer l'aire totale $A(x)$ des six faces en fonction de $x$.

\item Étudier les variations de la fonction $A$ sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$.

\item Dans un souci d'économie, on souhaite fabriquer des briques du type précédent dont l'aire totale des six faces est minimale. Quelle est alors la forme de telles briques?

\end{enumerate}


\end{exercice}


\begin{exercice}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R^+$ par : \[ f(x)=\dfrac{1}{x^2-x+1} \]
On appelle $\calc_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

On considère un point $M$ d'abscisse $x$ appartenant à la courbe $\calc_f$  et on construit comme l'indique la figure ci-dessous un rectangle de sommets $O$ et $M$ et dont les côtés sont parallèles aux axes.
\begin{center}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);
repere.orth(-0.5,4,7cm,-0.5,1.5);
vardef f(expr x) = 1/((x**2)-x+1) enddef;
settout(0,4,0,1.5);
pair M;
numeric t;
t=1.4;
M=_c(t,f(t));
nomme.urt(M);
fill (_c(0,0)--_c(0,f(t))--M--_c(t,0)--cycle) withcolor grisclair;
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
path C;
C=courbefonc(f,0,4,60);
draw C epaisseur 1 couleur 0.5bleu;
nomme.urt(C,3.2,LaTeX("$\calc_f$")) couleur 0.5bleu;
draw projectionaxes(M) dashed evenly epaisseur 1 couleur violet;
fin;
endfig;
\end{mplibcode}
\end{center}
On note $A(x)$ l'aire de ce rectangle en fonction de $x$.
\begin{enumerate}
\item Donner l’expression de la fonction $A$.
\item Étudier les variations de $A$.
\item Déterminer la position du point $M$ afin que l'aire du rectangle soit maximale.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\end{multicols}


\end{document}