\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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              pdftitle={Dérivation},%
              pdfauthor={O. Péault},%
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\begin{document}
 \titre{Dérivation - Entrainement}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Exercices}{}
\affichetitre

\begin{multicols}{2}


\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par : \[ f(x)=x^3+5x+1 \]
\begin{enumerate}
   \item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
   \item Calculer la dérivée de $f$.
   \item Quel est le signe de $f'$ ?
   \item Quel est le sens de variation de la fonction $f$ ?
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}
Reprendre les questions de l'exercice précédent pour la fonction $g$ définie par : \[ g(x)=\frac{2x+1}{3x-1} \]
\end{exercice}



\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[ f(x)=2x^2-6x+1 \]
\begin{enumerate}
   \item Calculer la dérivée de $f$.
   \item Donner, dans un tableau, le signe de $f'(x)$ en fonction de $x$.
   \item Donner, dans le même tableau, les variations de $f$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Reprendre les questions de l'exercice précédent pour la fonction $g$ définie par : \[ g(x)=-x^2+5x+2 \]
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par : \[ f(x)=\frac{1}{x^2-2x+1} \]
\begin{enumerate}
   \item Déterminer l'ensemble de définition $\cald_f$ de $f$.
   \item En utilisant la formule donnant la dérivée de l'inverse d'une fonction, calculer et simplifier la dérivée de $f$.
   \item Donner, dans un tableau, le signe de $f'(x)$ en fonction de $x$ (sans oublier d'exclure les valeurs n'appartenant pas à $\cald_f$).
   \item Donner, dans le même tableau, les variations de $f$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Reprendre les questions de l'exercice précédent pour la fonction $g$ définie par : \[ g(x)=\frac{3}{x^2+4x}-1 \]
\end{exercice}




\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par : \[ f(x)=x^3+3x^2-9x-5 \]
On appelle $\calc_f$ sa courbe représentative dans un repère (\SI{1}{cm} en abscisses, \SI{0,2}{cm} en ordonnées).
\begin{enumerate}
   \item Calculer la dérivée de $f$.
   \item Donner, dans un tableau, le signe de $f'(x)$ en fonction de $x$.
   \item Donner, dans le même tableau, les variations de $f$.
   \item Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $\calc_f$ au point d'abscisse $0$.
   \item Tracer $T$. Donner l'allure de $\calc_f$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Reprendre les questions de l'exercice précédent pour la fonction $g$ définie par : \[ g(x)= x^3+x^2-5x-2\]
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par : \[ f(x)=x^4+4x^3-5 \]
\begin{enumerate}
   \item Calculer la dérivée de $f$ puis factoriser $f'$.
   \item Donner, dans un tableau, le signe de $f'(x)$ en fonction de $x$.
   \item Donner, dans le même tableau, les variations de $f$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

%\newpage

\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$
par :
\[ f (x) = 2x^3 + 7x^2 - 12x + 3 \]
On appelle $\calc_f$ sa courbe représentative dans un repère.
\begin{enumerate}
\item Soit g la fonction définie sur $\R$ par $g (x) = 3x^2 + 7x - 6$.

Étudier le signe de $g$.

\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = 2g (x)$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\calc_f$ au point d'abscisse $1$.
\item On pose $h(x)=f(x)-(8x-8)$.
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $h$.
\item En déduire le signe de $h(x)$ en fonction de $x$.
\item Étudier les positions relatives de $\calc_f$ et $T$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Soit $g$ la fonction définie par : \[ g(x)= x^4+2x^3-x^2-1\]
\begin{enumerate}
   \item Calculer la dérivée de $g$ puis factoriser $g'$.
   \item Donner, dans un tableau, le signe de $g'(x)$ en fonction de $x$.
   \item Donner, dans le même tableau, les variations de $g$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Soit $h$ la fonction définie par : \[ h(x)= \frac{x^2+7}{x-3}\]
On appelle $\calc_h$ sa courbe représentative dans un repère.
\begin{enumerate}
   \item Déterminer l'ensemble de définition de $h$.
   \item Calculer la dérivée de $h$.
   \item Donner, dans un tableau, le signe de $h'(x)$ en fonction de $x$.
   \item Donner, dans le même tableau, les variations de $h$.
   \item Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $\calc_h$ au point d'abscisse $0$.
   \item Tracer $T$. Donner l'allure de $\calc_h$.
\end{enumerate}
\end{exercice}




\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$
par :
\[ f (x) = x^3 -3x^2 - 9x + 1 \]
On appelle $\calc_f$ sa courbe représentative dans un repère.
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\calc_f$ au point d'abscisse $1$.
\item Étudier les positions relatives de $\calc_f$ et $T$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par : \[ f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \] où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels fixés avec $c$ non nul.

Reprendre les questions des exercices précédents. On discutera en fonction de $a$, $b$, $c$ et $d$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par : \[ f(x)=ax^2+bx+c \] où $a$, $b$ et $c$ sont des réels fixés avec $a$ non nul.

Reprendre les questions des exercices précédents. On discutera en fonction de $a$, $b$ et $c$.
\end{exercice}



\end{multicols}


\end{document}
