\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}

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              unicode,%
              pdftitle={Exercices sur les angles orientés},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}

\begin{document}
 \titre{Angles orientés}
 \classe{\prems}
 \typedoc*{Exercices}{}
 \date{26 mars 2019}
 \duree{D'après Sésamath}
 
 \affichetitre


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\belowdisplayskip=0.5ex


\begin{multicols}{2}
% 18
\begin{exercice}
  On considère les points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $I$, respectivement
  point-images sur un cercle trigonométrique des nombres suivants : 

  $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{2\pi}{3}$, $\dfrac{5\pi}{6}$,
  $-\dfrac{3\pi}{4}$, $-\dfrac{\pi}{4}$ et $0$.

  Donner une mesure des angles orientés suivants :
  \begin{colenumerate}{2}
  \item $\left(\vect{OI},\vect{OA}\right)$
  \item $\left(\vect{OA},\vect{OB}\right)$
  \item $\left(\vect{OC},\vect{OA}\right)$
  \item $\left(\vect{OD},\vect{OB}\right)$
  \item $\left(\vect{OC},\vect{OE}\right)$
  \item $\left(\vect{OE},\vect{OD}\right)$
  \end{colenumerate}
\end{exercice}

% 19
\begin{exercice}
  $ABCD$ est un carré de sens direct de centre $O$.

  Donner une mesure des angles orientés suivants :
  \begin{colenumerate}{2}
  \item $\left(\vect{OA},\vect{OB}\right)$
  \item $\left(\vect{OA},\vect{OC}\right)$
  \item $\left(\vect{OB},\vect{OA}\right)$
  \item $\left(\vect{AO},\vect{AD}\right)$
  \item $\left(\vect{CB},\vect{CD}\right)$
  \item $\left(\vect{CA},\vect{CB}\right)$
  \end{colenumerate}
\end{exercice}

% 20
\begin{exercice}
  Déterminer la mesure principale des angles orientés dont une mesure est :
  \begin{colenumerate}{2}
  \item $-\dfrac{7\pi}{5}$
  \item $\dfrac{18\pi}{4}$
  \item $\dfrac{4\pi}{3}$
  \item $\dfrac{7\pi}{10}$
  \end{colenumerate}
\end{exercice}
%\begin{corrige}
%  \begin{enumerate}
%  \item $\dfrac{3\pi }{5}$ car ${-{\dfrac{\text{7$\pi
%            $}}{5}}}\notin \left]-\pi \ ;\ \pi \right]$ mais 
%    ${-{\dfrac{\text{7$\pi $}}{5}}+2\pi =\dfrac{3\pi }{5}}\in \left]-\pi
%      \ ;\ \pi \right]$
%
%  \item $\dfrac{\pi }{2}$ car ${\dfrac{\text{18}\pi }{4}}\notin
%    \left]-\pi \ ;\ \pi \right]$ mais ${\dfrac{\text{18}\pi }{4}}-4\pi
%    =\dfrac{\pi }{2}\in \left]-\pi \ ;\ \pi \right]$
%
%  \item $-\dfrac{2\pi}{3}$ car $\dfrac{4\pi}{3}\notin \left]-\pi \ ;\ \pi
%    \right]$ mais $\dfrac{4\pi}{3}-2\pi =-\dfrac{2\pi}{3}\in \left]-\pi
%      \ ;\ \pi \right]$
%
%  \item $\dfrac{7\pi}{10}$ car $\dfrac{7\pi}{10}\in \left]-\pi \ ;\ \pi
%    \right]$
%  \end{enumerate}
%\end{corrige}

% 21 
\begin{exercice}
  Déterminer la mesure principale des angles orientés dont une mesure est :
  \begin{colenumerate}{2}
  \item $-\dfrac{21\pi}{4}$
  \item $\dfrac{37\pi}{7}$
  \item $-\dfrac{2\pi}{3}$
  \item $\dfrac{23\pi}{10}$
  \end{colenumerate}
\end{exercice}

% 23
\begin{exercice}
  Soit $\vect{u}$ et $\vect{v}$ deux vecteurs non nuls tels que :

  $\left(\vect{u},\vect{v}\right)=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$.

  Donner la mesure principale des angles orientés suivants :
  \begin{colenumerate}{2}
  \item $\left(-\vect{u},-\vect{v}\right)$
  \item $\left(\vect{v},\vect{u}\right)$
  \item $\left(-\vect{v},-\vect{v}\right)$
  \item $\left(-\vect{v},\vect{u}\right)$
  \end{colenumerate}
\end{exercice}

% 24
\begin{exercice}
  Soit $A$, $B$ et $C$ trois points tels
  que :

  $\left(\vect{AB},\vect{AC}\right)=-\dfrac{\pi}{5}+2k\pi$.

  Donner la mesure principale des angles orientés suivants :
  \begin{colenumerate}{2}
  \item $\left(\vect{BA},\vect{AC}\right)$
  \item $\left(\vect{AC},\vect{BA}\right)$
  \item $\left(\vect{AC},\vect{AB}\right)$
  \item $\left(\vect{AB},\vect{CA}\right)$
  \end{colenumerate}
\end{exercice}


% 22
%\begin{exercice}[Mesure principale][\algo]
%  \begin{enumerate}
%  \item
%    \begin{enumerate}
%    \item Expliquer pourquoi on peut distinguer trois cas quand on
%      calcule la mesure principale d'un angle orienté.
%    \item Un de ces trois cas est très simple à gérer. 
%
%      Pourquoi ?
%  \end{enumerate}
%\item Compléter l'algorithme ci-dessous.
%  \begin{oldalgorithme}
%\textit{Algorithme}: Mesure principale
%Liste des variables utilisées
%x : nombre réel
%\textit{Traitements}
%Demander x
%Si x$>$ \ldots{} alors
%   Tant que x$>$....
%      Donner à x la valeur \ldots{}..
%   Fin Tant que
%Sinon
%   Si x $\leq{}$... alors
%   Tant que x $\leq{}$ \ldots{}
%      Donner à x la valeur \ldots{}..
%   Fin Tant que
%   Fin Si
%Fin Si
%\textit{Affichage}
%Afficher « la mesure principale est : »
%Afficher x
%\textit{Fin de l'Algorithme}%
%  \end{oldalgorithme}
%
%\item En pratique, cet algorithme n'est pas facile à utiliser
%    car on connaît en général la mesure d'un angle orienté sous la
%    forme $x=\dfrac{a\pi}{b}$.
%
%    Modifier l'algorithme précédent pour qu'il demande à l'utilisateur
%    les deux nombres $a$ et $b$, puis déterminer la mesure
%    principale $\dfrac{a'\pi}{b'}$.
%  \end{enumerate}
%\end{exercice}

% 25
\begin{exercice}
  Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ des points du plan tels que
  $\left(\vect{AB},\vect{AC}\right)=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ et
  $\left(\vect{AC},\vect{AD}\right)=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$. 

  Démontrer que le triangle $ABD$ est rectangle en $A$.
\end{exercice}

% 26
\begin{exercice}
  $A$, $B$, $C$ et $D$ sont des points tels que : 

  $\left(\vect{CB}, \vect{CA}\right)=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$, $BCA$ est
  rectangle en $B$ et de sens direct (c'est-à-dire
  $\left(\vect{BC},\vect{BA}\right)=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$) et
  $\left(\vect{AD},\vect{AB}\right)=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$.

  Montrer que les points $A$, $C$ et $D$ sont alignés.
\end{exercice}

% 27
\begin{exercice}
  Soit $A$, $B$ et $C$ trois points d'un cercle ($\Gamma{}$) de centre
  $O$. Soit $D$ le point diamétralement opposé à $A$ sur ($\Gamma{}$).
\begin{center}
\begin{mplibcode}
u:=1.4cm;
repere(-1.5,1.5,u,-1.5,1.5,u);
pair O,A,B,C,D;
A:=pold(1,80);
B:=pold(1,185);
C:=pold(1,-60);
D=-A;O=(0,0);
nomme.top(A);nomme.lft(B);
nomme.lrt(C);nomme.urt(O);
nomme.bot(D);
label.ulft(LaTeX("$(\Gamma$)"),pold(1,110));
drawoptions(epaisseur 0.7);
draw fullcircle scaled 2;
draw D--A;
draw B--O--C withcolor violet;
drawarrow marqueangle(B,O,C) withcolor violet;
draw B--A--C withcolor bleu;
drawarrow marqueangle(B,A,C) withcolor bleu;
fin;
\end{mplibcode}
\qquad
\begin{mplibcode}
u:=1.4cm;
repere(-1.5,1.5,u,-1.5,1.5,u);
pair O,A,B,C,D;
A:=pold(1,80);
B:=pold(1,170);
C:=pold(1,20);
D=-A;O=(0,0);
nomme.top(A);nomme.lft(B);
nomme.lrt(C);nomme.urt(O);
nomme.bot(D);
label.ulft(LaTeX("$(\Gamma$)"),pold(1,110));
drawoptions(epaisseur 0.7);
draw fullcircle scaled 2;
draw D--A;
draw B--O--C withcolor violet;
drawarrow marqueangle(B,O,C) withcolor violet;
draw B--A--C withcolor bleu;
drawarrow marqueangle(B,A,C) withcolor bleu;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}

%  {\centering\includegraphics[scale=.8]{\pathmanuel/figures/img-22}\par\vspace{-\baselineskip}}
  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Montrer en utilisant la relation de Chasles que
      $\left(\vect{OB},\vect{OD}\right)=\pi-\left(\vect{OA},\vect{OB}\right)+2k\pi$.
    \item Exprimer que la somme des angles du triangle $AOB$ est égale
      à $\pi$.
    \item En déduire que
      $\left(\vect{OB},\vect{OD}\right)=2\left(\vect{AB},\vect{AO}\right)+2k\pi$.
    \end{enumerate}
  \item On peut montrer de même que :

    $\left(\vect{OD},\vect{OC}\right)=2\left(\vect{AO},\vect{AC}\right)+2k\pi$.

    En déduire que
    $\left(\vect{OB},\vect{OC}\right)=2\left(\vect{AB},\vect{AC}\right)+2k\pi$.

  \item Quel théorème connu a-t-on (re)démontré ?
  \end{enumerate}
\end{exercice}

% 28
\begin{exercice}
  $ABCDE$ est la ligne brisée ci-dessous.
  
\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(-1,6,1cm,-1,3,1cm);
pair A,B,C,D,E;
A=(0,1);B:=(2,1);
C:=(3.5,2.5);D:=(3.5,0);
E:=(5.5,0);
draw A--B--C--D--E epaisseur 1;
drawoptions(couleur bleu);
nomme.bot(A);nomme.bot(B);
nomme.top(C);
nomme.bot(D);nomme.bot(E);
drawarrow reverse marqueangle(C,B,A);
label.ulft(LaTeX("$-\frac{3\pi}{4}$"),B+_c(-0.15,0.35));
%drawarrow reverse angleor(E,D,C,0.5);
drawarrow reverse marqueangle(E,D,C);
label.urt(LaTeX("$-\frac{\pi}{2}$"),D+_c(0.2,0.2));
drawoptions(couleur violet);
%drawarrow angleor(B,C,D,0.7);
drawarrow marqueangle(B,C,D);
label.llft(LaTeX("$\frac{\pi}{4}$"),C+_c(-0.2,-0.6));
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}



  Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?
\end{exercice}



\end{multicols}



\end{document}