\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}

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              pdftitle={Exercices corrigés},%
              pdfauthor={O. Péault},%
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\begin{document}
 \titre{Second degré}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Exercices corrigés}{}
 
 \pagestyle{empty}
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\begin{exercice*}{60 page 29}
\begin{enumerate}[before=\relax,label=\alph*.,itemsep=18pt]
\item $(I_a):1-2x\leqslant\dfrac{1}{x+2}$

$x+2=0 \Leftrightarrow x=-2$. On résout donc cette inéquation sur $\cald_a=\R\setminus\{-2\}$

Sur cet ensemble, on a :
 \[ (I_a)\Leftrightarrow 1-2x-\dfrac{1}{x+2}\leqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{(1-2x)(x+2)-1}{x+2}\leqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{-2x^2-3x-1}{x+2}\leqslant0 \]

\begin{itemize}
\item Le numérateur du quotient précédent est un polynôme du second degré dont les racines sont (après calculs...) $-1$ et $-\dfrac{1}{2}$ et dont le coefficient de $x^2$ est $-2$ qui est négatif.
\item Le dénominateur du quotient précédent est une fonction affine qui s'annule en $-2$ et de coefficient directeur $1$ qui est positif.
\end{itemize}

On en déduit donc le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2,
            lgt=3,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe de\\
$-2x^2-3x-1$ /1,
Signe de\\
$x+2$ /1,
Signe de\\
$\frac{-2x^2-3x-1}{x+2}$ /1
}
{$-\infty$,$-2$,$-1$,$-\frac{1}{2}$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,-,t,-,z,+,z,-, }
\tkzTabLine{ ,-,z,+,t,+,t,+, }
\tkzTabLine{ ,+,d,-,z,+,z,-, }
\end{tikzpicture}
\end{center}

Conclusion : \fbox{$\cals_a=\intervalleOF{-2}{-1} \cup \intervalleFO{-\frac{1}{2}}{+\infty}$}


\item $(I_b):\dfrac{1}{x+1}>\dfrac{2}{x+2}$

$x+2=0 \Leftrightarrow x=-2$ et $x+1=0\Leftrightarrow x=-1$. On résout donc cette inéquation sur $\cald_a=\R\setminus\{-2;-1\}$

Sur cet ensemble, on a :
 \[ (I_b)\Leftrightarrow \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{2}{x+2} >  0 \Leftrightarrow \dfrac{(x+2)-2(x+1)}{(x+1)(x+2)}> 0 \Leftrightarrow \dfrac{-x}{(x+1)(x+2)}>0 \]

\begin{itemize}
\item Le numérateur du quotient précédent est une fonction affine qui s'annule en $0$ et de coefficient directeur $-1$ qui est négatif.
\item Le dénominateur du quotient précédent est un polynôme du second degré dont les racines sont (immédiat puisqu'on a la forme factorisée) $-1$ et $-2$ et dont le coefficient de $x^2$ est $1$ qui est positif.
\end{itemize}

On en déduit donc le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2,
            lgt=3,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe de\\
$-x$ /1,
Signe de\\
$(x+1)(x+2)$ /1,
Signe de\\
$\frac{-x}{(x+1)(x+2)}$ /1
}
{$-\infty$,$-2$,$-1$,$0$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,+,t,+,t,+,z,-, }
\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+,t,+, }
\tkzTabLine{ ,+,d,-,d,+,z,-, }
\end{tikzpicture}
\end{center}

Conclusion : \fbox{$\cals_b=\intervalleOO{-\infty}{-2} \cup \intervalleOO{-1}{0}$}

\newpage
\item $(I_c):\dfrac{x}{x-1}>\dfrac{2x-1}{x+3}$

$x-1=0 \Leftrightarrow x=1$ et $x+3=0\Leftrightarrow x=-3$. On résout donc cette inéquation sur $\cald_a=\R\setminus\{-3;1\}$

Sur cet ensemble, on a :
 \[ (I_c)\Leftrightarrow \dfrac{x}{x-1}-\dfrac{2x-1}{x+3}>0 \Leftrightarrow \dfrac{x(x+3)-(x-1)(2x-1)}{(x-3)(x-1)}>0 \Leftrightarrow \dfrac{-x^2+6x-1}{(x+3)(x-1)}>0 \]

\begin{itemize}
\item Le numérateur du quotient précédent est un polynôme du second degré dont les racines sont (après quelques calculs et simplifications...) $\alpha_1=3-2\sqrt{2}$ et $\alpha_2=3+2\sqrt{2}$ et dont le coefficient de $x^2$ est $-1$ qui est négatif.
\item Le dénominateur du quotient précédent est un polynôme du second degré dont les racines sont (immédiat puisqu'on a la forme factorisée) $-3$ et $1$ et dont le coefficient de $x^2$ est $1$ qui est positif.
\end{itemize}

On en déduit donc le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2,
            lgt=3,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe de\\
$-x^2+6x-1$ /1,
Signe de\\
$(x+3)(x-1)$ /1,
Signe de\\
$\frac{-x^2+6x-1}{(x+3)(x-1)}$ /1
}
{$-\infty$,$-3$,$\alpha_1$,$1$,$\alpha_2$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,-,t,-,z,+,t,+,z,-, }
\tkzTabLine{ ,+,z,-,t,-,z,+,t,+, }
\tkzTabLine{ ,-,d,+,z,-,d,+,z,-, }
\end{tikzpicture}
\end{center}

Conclusion : \fbox{$\cals_b=\intervalleOO{-3}{3-2\sqrt{2}} \cup \intervalleOO{1}{3+2\sqrt{2}}$}

\end{enumerate}

\end{exercice*}


\end{document}
