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              pdftitle={Exercices corrigés},%
              pdfauthor={O. Péault},%
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\begin{document}
 \titre{Second degré}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Exercices corrigés}{}
 
 \pagestyle{empty}
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\enlargethispage{\baselineskip}

\begin{exercice*}{33 page 27}
\begin{enumerate}[before=\relax,label=\alph*.,itemsep=12pt]
\item Soit $a$ définie par $a(x)=4x^2+\sqrt{5}x-1$.

$\Delta = \left(\sqrt{5}\right)^2-4\times 4 \times (-1)=21$

$\Delta>0$ donc $a$ admet les deux racines $\alpha_1$ et $\alpha_2$ suivantes :

\begin{itemize*}[label=\textbullet,itemjoin={\hspace{2cm}}]
\item $\alpha_1=\dfrac{-\sqrt{5}-\sqrt{21}}{2 \times 4} = \dfrac{-\sqrt{5}-\sqrt{21}}{8}$
\item $\alpha_2=\dfrac{-\sqrt{5}+\sqrt{21}}{2 \times 4} = \dfrac{-\sqrt{5}+\sqrt{21}}{8}$
\end{itemize*}

Le coefficient de $x^2$ est $4$ donc positif. Le signe de $a$ est donné par :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe\\
de  $a(x)$/1.5
}
{$-\infty$,$\alpha_1$,$\alpha_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
\end{tikzpicture}
\end{center}

Conclusion : \fbox{$\cals_a=\intervalleOO{\dfrac{-\sqrt{5}-\sqrt{21}}{8}}{\dfrac{-\sqrt{5}+\sqrt{21}}{8}}$}


\item Soit $b$ définie par $b(x)=\sqrt{7}x^2+6x-\sqrt{7}$.

$\Delta = 6^2-4\times \sqrt{7} \times (-\sqrt{7})=64$

$\Delta>0$ donc $b$ admet les deux racines $\alpha_1$ et $\alpha_2$ suivantes :

\begin{itemize*}[label=\textbullet,itemjoin={\hspace{2cm}}]
\item $\alpha_1=\dfrac{-6-\sqrt{64}}{2 \times \sqrt{7}} = \dfrac{-14}{2\sqrt{7}} = \dfrac{-14\sqrt{7}}{14} = -\sqrt{7}$
\item $\alpha_2=\dfrac{-6+\sqrt{64}}{2 \times \sqrt{7}} = \dfrac{2}{2\sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{7}}{7}$
\end{itemize*}

Le coefficient de $x^2$ est $\sqrt{7}$ donc positif. Le signe de $b$ est donné par :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe\\
de  $b(x)$/1.1
}
{$-\infty$,$-\sqrt{7}$,$\frac{\sqrt{7}}{7}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
\end{tikzpicture}
\end{center}

Conclusion : \fbox{$\cals_b=\intervalleOF{-\infty}{-\sqrt{7}}\cup \intervalleFO{\dfrac{\sqrt{7}}{7}}{+\infty}$}


\item Soit $c$ définie par $c(x)=-5x^2+10\sqrt{10}x-50$.

$\Delta = \left(10\sqrt{10}\right)^2-4\times (-5) \times (-50)=0$

$\Delta=0$ donc $c$ admet l'unique racine $\alpha=\dfrac{-10\sqrt{10}}{2\times(-5)}=\sqrt{10}$.

Le coefficient de $x^2$ est $-5$ donc négatif. Le signe de $c$ est donné par :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe\\
de  $b(x)$/1.1
}
{$-\infty$,$\sqrt{10}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,-,}%
\end{tikzpicture}
\end{center}

Conclusion : \fbox{$\cals_c=\intervalleOO{-\infty}{\sqrt{10}}\cup \intervalleOO{\sqrt{10}}{+\infty}$}


\item $-x^2\geqslant x+1 \Leftrightarrow x^2+x+1 \leqslant 0$

Soit $d$ définie par $d(x)=x^2+x+1$.

$\Delta = 1^2 - 4\times1 \times 1=-3$

$\Delta<0$ donc $d$ n'admet pas de racine et est toujours du signe du coefficient de $x^2$, ici $1$.

Ainsi, pour tout $x$, $d(x)<0$.

Conclusion : \fbox{$\cals_d=\varnothing$}

\item On obtient de la même façon : \fbox{$\cals_e=\intervalleOO{-\infty}{2}\cup\intervalleOO{3}{+\infty}$}
\end{enumerate}
\end{exercice*}


\end{document}
