\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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              pdftitle={Devoir de première S sur les suites},%
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\begin{document}
 \titre{Fonctions}
 \classe{\prems}
 \typedoc{DM}{6}
 \date{19 février 2018}
 
\affichetitre


 \begin{exercice}
Soit $\suite[d]$ la suite définie sur $\N$ par :
\[ 
\begin{dcases*}
d_0=0 \\
d_{n+1}=\sqrt{(d_n)^2+2n+4} & pour tout entier naturel $n$.
\end{dcases*} \]

  \begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\suite[d]$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
  \item On définit la suite $\suite$ en posant, pour tout entier $n$ :
  \[ u_n = (d_n)^2-n^2 \]
   Montrer que  $u$ est une suite arithmétique puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
  \item  En déduire l'expression de $d_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
  \end{enumerate}
 
 \end{exercice}
 
 \bigskip
 \begin{exercice}
Soit $\suite$ la suite définie sur $\N$ par :
\[ 
\begin{dcases*}
u_0=1;\quad u_1=8; \\
u_{n+2}=4u_{n+1}-4u_n & pour tout entier naturel $n$.
\end{dcases*}
 \]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\suite$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
\item On définit la suite $\suite[v]$ en posant, pour tout entier $n$ :
\[ v_n=u_{n+1}-2u_n \]
Démontrer que $v$ est géométrique puis exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item On définit la suite $\suite[w]$ en posant, pour tout entier $n$ :
\[ w_n=\frac{u_n}{v_n} \]
Démontrer que $w$ est arithmétique  puis exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
\item Déduire des questions précédentes l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
\end{enumerate}
 \end{exercice}
 


\end{document}