\documentclass[10pt,twoside,french,a4paper]{article}


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              pdftitle={Devoir de première sur le produit scalaire},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}


\begin{document}
 \titre{Produit scalaire}
 \classe{\prems}
 \typedoc{DM}{}
% \duree{1 heure}
 \date{17 mai 2016}

%\begin{empfile}
%
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%    input repere;
%    
% \end{empcmds}

\affichetitre

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\begin{exercice}
Soit $m$ un réel strictement positif, $d_m$ la droite d'équation $x+y=m$ et $\mathscr{C}_m$ le cercle de centre $O(0\ ;\ 0)$ et de rayon $m$.
\begin{enumerate}
  \item Montrer que $d_m$ et $\mathscr{C}_m$ sont sécants quelle que soit la valeur de $m$ et donner leurs points d'intersection.
  \item Soit $A(a\ ;\ 0)$, avec $a\in\mathbb{R}$, et $\mathscr{C}'_m$ le cercle de centre $A$ et de rayon $m$.
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que $d_m$ et $\mathscr{C}'_m$ ont au moins un point commun si et seulement si $-a^2+2ma+m^2>0$.
    \item Résoudre cette inéquation d'inconnue $a$ et en déduire où placer $A$ pour que $d_m$ et $\mathscr{C}'_m$ aient au moins un point commun.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{exercice}


\begin{exercice}

On appelle distance entre une droite $d$ et un point $A$ la longueur $AA'$ où $A'$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $d$.

\begin{partie}[Formule explicite]
On considère une droite $d$ d'équation $ax+by+c=0$ et un point $A(x_A;y_A)$.
\begin{enumerate}
  \item Dans un repère du plan, tracer une droite $d$ quelconque, un point $A$ extérieur à $d$ et $A'$ son projeté orthogonal sur $d$.
  \item Soit $\vv{n}\cp{a}{b}$ un vecteur normal de $d$.
  Montrer que $\left|\vv{n}\cdot \vv{A'A}\right|=A'A\sqrt{a^2+b^2}$.
  \item \begin{enumerate}
          \item Exprimer $\vv{n}\cdot \vv{A'A}$ en fonction de $a$, $b$, $x_A$, $y_A$, $x_{A'}$ et $y_{A'}$.
          \item Justifier que $-ax_{A'}-by_{A'}=c$.
          \item En déduire que la distance entre $A$ et $d$ est :
          $$\dfrac{\left|ax_A+by_A+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{partie}


\begin{partie}[Application]

Soit trois points $F(0\ ;\ 6)$, $G(2\ ;\ -1)$ et $H(-1\ ;\ 3)$.
\begin{enumerate}
  \item Déterminer une équation de $(FG)$.
  \item En déduire la distance de $H$ à $(FG)$.
  \item Calculer l'aire de $FGH$.
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{exercice}


\begin{exercice} On considère un triangle quelconque $ABC$, $I$ le milieu de $[AB]$ et les points $D$ et $E$ tels que les triangles directs $ACD$ et $CBE$ soient isocèles et rectangles en $C$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
   \draw (0,0)--(5,0)--(2,3)--(0,0) ;
   \draw (0,0)--(2,3)--(-1,5)--(0,0) ;
   \draw (5,0)--(2,3)--(5,6)--(5,0) ;
   \draw[dashed] (5,6)--(-1,5) ;
   \draw[color=red]  (1.5,6)--(2.6,-0.6) ;
   \draw (0,0) node[below]{$A$} ;
   \draw (5,0) node[below]{$B$} ;
   \draw (2.5,0) node[below]{$I$} ;
   \draw (2,3) node[right]{$C$} ;
   \draw (-1,5) node[above]{$D$} ;
   \draw (5,6) node[above]{$E$} ;
  \end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item On a tracé $(CI)$ la médiane issue de $C$ dans $ABC$.

  Quelle droite remarquable de $DCE$ semble-t-elle également être ?
  \item Justifier que $\vv{CI}=\dfrac{1}{2}\vv{CA}+\dfrac{1}{2}\vv{CB}$.
  \item En déduire que $\vv{CI}\cdot \vv{DE}=\dfrac{1}{2}\left(\vv{CA}\cdot \vv{CE}-\vv{CB}\cdot \vv{CD}\right)$.
  \item Conclure.
\end{enumerate}

\end{exercice}
%\end{empfile}
\end{document}

