\documentclass[10pt,twoside,french,a4paper]{article}


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              pdftitle={Devoir de première sur la dérivation},%
              pdfauthor={O. Péault},%
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\begin{document}
 \titre{Dérivation}
 \classe{\prems}
 \typedoc{DM}{}
% \duree{1 heure}
 \date{14 janvier 2016}

%\begin{empfile}
%
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%    
% \end{empcmds}

\affichetitre

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\begin{exercice}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R^*$ par :  \[ f(x)=\dfrac{2x^2-5x+2}{x} \]

On note $\calc_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
\begin{enumerate}
  \item Montrer que $f$ est dérivable en tout point où elle est définie, et que pour tout réel $x\neq 0$ : \[f'(x)=\dfrac{2(x^2-1)}{x^2}\]
  \item Donner le tableau des variations de $f$ et préciser les extremums locaux éventuels.
  \item Résoudre l'équation $f(x)=0$ et interpréter graphiquement le résultat.
  \item Déterminer les points de $\calc_f$ pour lesquels $\calc_f$ admet une tangente parallèle à la droite $\cald$ d'équation $y=-6x$. Donner alors les équations des tangentes éventuelles.
  \item Tracer $\calc_f$, en complétant avec tous les éléments de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x)=-3x\sqrt{x} \]
\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ est dérivable sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ et calculer $f'(x)$.
\item  Montrer que $f$ est dérivable en $0$ et calculer $f'(0)$.
\item  Dresser le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Montrer que, pour tout $x\in\intervalleFO{-2}{+\infty}$, $x^3\geqslant3x-2$.
\end{exercice}


\begin{exercice}
Un fabricant de produits alimentaires veut utiliser des boîtes de conserve pour conditionner ses produits. On suppose qu'une boîte de conserve est un cylindre parfait de contenance 1L.\par
Le fabricant cherche donc à déterminer les dimensions de la boîte de conserve afin que :
\begin{itemize}
 \item le volume contenu soit de 1L,
 \item la quantité de métal utilisée pour la fabriquer (supposée proportionnelle à l'aire totale du cylindre) soit minimale.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Soit $r$ le rayon de la base du cylindre et soit $h$ sa hauteur. Exprimer $h$ en fonction de $r$.
\item Établir que l'aire totale du cylindre est donnée par $\cala(r)=2\pi r^2+\dfrac{2}{r}$.
\item Étudier la dérivabilité  puis calculer la dérivée de la fonction $\cala$ sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$.
\item En déduire les variations de la fonction $\cala$ sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$.\par
      Pour quelle valeur de $r$ cette aire est-elle minimale ? Montrer alors que $h=2r$.
\item Quelles doivent être au millimètre près, les dimensions de la boîte de conserve (rayon de la base et hauteur), pour répondre aux contraintes fixées par le fabricant ?
\end{enumerate}
\end{exercice}



%\end{empfile}
\end{document}

