\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}

  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{pifont}

  \usepackage{emp}

  \usepackage{PresentationArticle}   %Paquet perso
  \usepackage{Commandes}      %Paquet perso
  \usepackage{fourier}
  
  \usepackage[output-decimal-marker={,}]{siunitx}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage{babel}
     \frenchbsetup{SuppressWarning,CompactItemize=false}
     \DecimalMathComma

  \usepackage[%
              pdftitle={Devoir de 1re S sur la dérivation},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}

\input{TexteFigureMP}

\begin{document}
 \titre{Fonctions}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Corr}{7}
 \date{15 décembre 2016}
 \duree{1 heure}
 
\affichetitre
\begin{empfile}

\begin{empcmds}
input repere;
  color coul[];
  coul1:=(0,0,0.5);
  coul2:=(0.3,0,0.6);
  coul3:=(0.5,0,0);
\end{empcmds}


\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par : \[ f(x)=\frac{x^2-x-2}{2x-6} \]
On appelle $\calc_f$ sa représentation graphique dans un repère.

\begin{enumerate}[itemsep=2ex]
\item Déterminer l'ensemble de définition $\cald_f$ de $f$.

$2x-6=0 \Leftrightarrow x=3 $ donc \fbox{$\cald_f=\R\setminus\{3\}$}.

\item Résoudre l'équation $f(x)=0$. Interpréter graphiquement le résultat.

Sur $\cald_f$, $f(x)=0 \Leftrightarrow x^2-x-2=0$. Cette équation du second degré admet comme solutions (calculs à faire) \fbox{$-1$ et $2$}.

Ces solutions sont \fbox{les abscisses des points d'intersection de $\calc_f$ avec l'axe des abscisses}.
\item Étudier les variations de $f$ sur $\cald_f$.

Pour étudier les variations de $f$, on étudie le signe de sa dérivée.

$f$ est une fonction rationnelle, elle est donc dérivable sur son ensemble de définition et on a :

Pour tout $x\in\cald_f$, $f'(x)=\dfrac{(2x-1)(2x-6)-(x^2-x-2)\times2}{(2x-6)^2}=\dfrac{2x^2-12x+10}{(2x-6)^2}$

Sur $\cald_f$, $f'(x)$ est du signe de $n(x)=2x^2-12x+10$ car $(2x-6)^2>0$.

$n(x)$ est un polynôme du second degré dont les racines sont (les calculs sont à faire...) : $1$ et $5$. On en déduit donc son signe ainsi que le tableau de variation de $f$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe\\
de $f'(x)$ /1,
Variations\\
de $f$ /2}
{$-\infty$,$1$,$3$,$5$,$+\infty$}
\tkzTabLine{ , + , 0 , - , d , - , 0 , + , }
\tkzTabVar{ -/ ,+/$\frac{1}{2}$, -D+//, -/$\frac{9}{2}$,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}


\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\calc_f$ au point d'abscisse 4.

L'équation de cette tangente est (formule du cours) : $y=f'(4)(x-4)+f(4)$

On a, de plus : $f(4)=\dfrac{4^2-4-2}{2\times4-6}=5$ et $f'(4)=\dfrac{2\times4^2-12\times4+10}{(2\times4-6)^2}=-\dfrac{3}{2}$

On en déduit donc que l'équation réduite de $T$ est : $y=-\dfrac{3}{2}(x-4)+5$ soit \fbox{$y=-\dfrac{3}{2}x+11$}.

\newpage
\item Tracer l'allure de $\calc_f$ en cohérence avec les questions précédentes.

Il faut faire apparaitre sur le dessin : les points d'intersection avec l'axe des abscisses, les variations que l'on a obtenues, les points où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, la droite d'équation $x=3$ qui montre l'ensemble de définition, la tangente obtenue à la question précédente...
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
repere.orth(-6,12,12cm,-5,10);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
vardef f(expr x)= (x**2 - x -2)/(2*x-6) enddef;
path C,D,T;
C=courbefonc(f,-6,2.9);
D=courbefonc(f,3.1,12);
draw C epaisseur 1 couleur 0.5blue;
draw D epaisseur 1 couleur 0.5blue;
draw droite(3) epaisseur 1 dashed evenly couleur rouge;
draw tangente.double(C,1) epaisseur 1 couleur rouge;
draw tangente.double(D,5) epaisseur 1 couleur rouge;
draw tangente(D,4) epaisseur 1 couleur rouge;
marquepointcourbe(C,-1,2) couleur rouge;
marquepointcourbe(D,4) couleur rouge;
fin;
\end{emp}
\end{center}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Soit $g$ la fonction définie sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ g(x)=(x^2-2x)\sqrt{x} \]

\begin{enumerate}[itemsep=2ex]
\item Justifier que $g$ est dérivable sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ puis démontrer que, pour tout $x\in\intervalleOO{0}{+\infty}$ :
\[ g'(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x}(5x-6) \]

$g$ est le produit d'une fonction polynôme du second degré (dérivable sur $\R$ donc sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$) et de la fonction racine carrée dérivable sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$. \fbox{$g$ est donc dérivable sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$}.

On a de plus :

Pour tout $x\in\intervalleOO{0}{+\infty}$ : 
\[\begin{aligned}
g'(x) & =(2x-2)\sqrt{x}+(x^2-2x)\times\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}(2x-2)\sqrt{x}+x^2-2x}{2\sqrt{x}}=\frac{4x^2-4x+x^2-2x}{2\sqrt{x}}=\frac{5x^2-6x}{2\sqrt{x}}\\
& =\frac{x}{2\sqrt{x}}\times(5x-6)=\frac{1}{2}\times\frac{x}{\sqrt{x}}\times(5x-6)=\boxed{\frac{1}{2}\sqrt{x}(5x-6)}
\end{aligned}\]
\item En utilisant le taux d'accroissement, démontrer que $g$ est dérivable en $0$.

Pour tout $h>0$ :
\[ \frac{g(0+h)-g(0)}{h}=\frac{g(h)}{h}=\frac{(h^2-2h)\sqrt{h}}{h}=\frac{h(h-2)\sqrt{h}}{h}=(h-2)\sqrt{h} \]
$\ds\limo[h] (h-2)\sqrt{h}=0$ donc $\ds\limo[h]\frac{g(0+h)-g(0)}{h}=0$
donc \fbox{$g$ est dérivable en $0$ et $g'(0)=0$}.
\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$.

$g'(0)=0$ et, sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$, le signe de $g'(x)$ sur  est celui de la fonction affine $5x-6$, on en déduit donc le tableau ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe\\
de $g'(x)$ /1,
Variations\\
de $g$ /2}
{$0$,$\frac{6}{5}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{0 , - , 0 , + , }
\tkzTabVar{ +/$0$ ,-/$-\frac{24}{25}\sqrt{\frac{6}{5}}$, +/}
\end{tikzpicture}
\end{center}


\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
On dispose d'une feuille cartonnée de forme carrée dont le côté mesure \SI{12}{\cm}. Dans chaque coin de cette feuille, on découpe un carré de côté $x$ de manière à obtenir, par pliage, une boite parallélépipédique sans couvercle.

On appelle $V(x)$ le volume du parallélépipède obtenu.

\begin{center}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\centering
\begin{emp}(0,0)
u:=0.6cm;
x:=1.75;
repere(-6,4.5,u,-4.5,6,u);
path p,q,c[];
p:=(4,4-x)--(4-x,4-x)--(4-x,4)--(-4+x,4);
q:=(4-x,-4+x)--(4-x,4-x);
for i:=0 upto 3:
 c[i]:=((4-x,4-x)--(4,4-x)--(4,4)--(4-x,4)--cycle) rotated (i*90);
 draw c[i] dashed evenly;
 fill c[i] avec hachures();
 draw p rotated (i*90) epaisseur 1;
 draw q rotated (i*90) dashed evenly;
endfor
marque_p:="";
drawdblarrow ((0,-4)--(0,4)) shifted (-4.5,0);
nomme.lft((-4.5,0),LaTeX("$12$"));
drawdblarrow ((-4,0)--(4,0)) shifted (0,4.5);
nomme.top((0,4.5),LaTeX("$12$"));
nomme.lft((4-x,4-x/2),LaTeX("$x$"));
nomme.bot((4-x/2,4-x),LaTeX("$x$"));
fin;
\end{emp}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\centering
\begin{emp}(0,0)
u:=0.6cm;
x:=1.75;
a:=2.5;
repere(-6,6,u,-4.5,6,u);
 fill (-4+x,-4+x)--(4-x,-4+x)--(4-x,-4+2x)--(-4+x,-4+2x)--cycle couleur 0.8white;
 fill (4-x,-4+x)--(4-x+a,-4+x+a)--(4-x+a,-4+2x+a)--(4-x,-4+2x)--cycle couleur 0.8white;
 draw (-4+x,-4+x)--(-4+x+a,-4+x+a)--(-4+x+a,-4+2x+a) dashed evenly;
 draw (-4+x+a,-4+x+a)--(4-x+a,-4+x+a) dashed evenly;
 drawoptions (epaisseur 1);
 draw (-4+x,-4+x)--(4-x,-4+x)--(4-x,-4+2x)--(-4+x,-4+2x)--cycle;
 draw (4-x,-4+2x)--(4-x+a,-4+2x+a)--(-4+x+a,-4+2x+a)--(-4+x,-4+2x);
 draw (4-x,-4+x)--(4-x+a,-4+x+a)--(4-x+a,-4+2x+a);
marque_p:="";
nomme.lft((-4+x,-4+3x/2),LaTeX("$x$"));
nomme.rt((4-x,-4+3x/2),LaTeX("$x$"));
fin;
\end{emp}
\end{minipage}
\end{center}

\begin{enumerate}[itemsep=2ex]
\item Déterminer l'ensemble de définition de $V$.

$x$ doit être positif car c'est une longueur et puisqu'on enlève deux carrés de côté $x$ dans chaque longueur, on doit avoir $2x\leqslant 12$ soit $x\leqslant6$.

L'ensemble de définition de $V$ est donc : \fbox{$\cald_V=\intervalleFF{0}{6}$}

\item Exprimer $V(x)$ en fonction de $x$.

La boite est un parallélépipède rectangle de côtés $x$, $12-2x$ et $12-2x$.

 Son volume est donc : \fbox{$V(x)=x(12-2x)^2$}
\item Étudier les variations de $V$ et déterminer la valeur de $x$ qui rend le volume maximal.

Avant de calculer la dérivée de $V$, on peut développer :

$V(x)=x(12-2x)^2=x(144-48x+4x^2)=4x^3-48x^2+144x$

$V$ est dérivable sur $\intervalleFF{0}{6}$ et, pour tout $x$ de $\intervalleFF{0}{6}$ :

$V'(x)=12x^2-96x+144=12(x^2-8x+12)$

L'étude du signe de $V'$ se ramène donc à l'étude d'un polynôme du second degré dont les racines sont (après calculs...) : $2$ et $6$.

On obtient donc le tableau ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe\\
de $V'(x)$ /1,
Variations\\
de $V$ /2}
{$0$,$2$,$6$}
\tkzTabLine{ , + , 0 , - , 0}
\tkzTabVar{ -/$0$ ,+/$128$, -/$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Conclusion : \fbox{le volume maximal est obtenu pour $x=2$ et ce volume maximal est $V_{max}=128$}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[3 points]
Démontrer que, pour tout réel $x\geqslant 0$, on a : \[ 2\sqrt{x}-x\leqslant 1 \] 

Soit $f$ la fonction définie sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$ par $f(x)=2\sqrt{x}-x$

$f$ est dérivable sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ et, pour tout $x\in\intervalleOO{0}{+\infty}$ :
\[ f'(x)=2\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-1=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-1=\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \]

$f'(x)$ est donc du signe de $1-\sqrt{x}$. Il ne s'agit pas d'une fonction standard (affine, second degré...), il faut donc résoudre au moins une inéquation (la troisième ligne n'est pas nécessaire) :

$1-\sqrt{x}>0 \Leftrightarrow 1>\sqrt{x} \Leftrightarrow 1>x$ car la fonction carré est strictement croissante sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$

$1-\sqrt{x}=0 \Leftrightarrow 1=\sqrt{x} \Leftrightarrow 1=x$

$1-\sqrt{x}<0 \Leftrightarrow 1<\sqrt{x} \Leftrightarrow 1<x$ car la fonction carré est strictement croissante sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$

On en déduit le tableau ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe\\
de $f'(x)$ /1,
Variations\\
de $f$ /2}
{$0$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d , + , 0 , - , }
\tkzTabVar{ -/$0$ ,+/$1$, -/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
La valeur maximale de $f$ est donc $1$.

Conclusion : \fbox{Pour tout $x\in\intervalleFO{0}{+\infty}$, $2\sqrt{x}-x\leqslant 1$}
\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}

