\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}

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  \usepackage[%
              pdftitle={Devoir de 1re S sur la dérivation},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}

\input{TexteFigureMP}

\begin{document}
 \titre{Fonctions}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Devoir}{7}
 \date{15 décembre 2016}
 \duree{1 heure}
 
\affichetitre
\begin{empfile}

\begin{empcmds}
input repere;
  color coul[];
  coul1:=(0,0,0.5);
  coul2:=(0.3,0,0.6);
  coul3:=(0.5,0,0);
\end{empcmds}


\begin{exercice}[6 points]
Soit $f$ la fonction définie par : \[ f(x)=\frac{x^2-x-2}{2x-6} \]
On appelle $\calc_f$ sa représentation graphique dans un repère.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition $\cald_f$ de $f$.
\item Résoudre l'équation $f(x)=0$. Interpréter graphiquement le résultat.
\item Étudier les variations de $f$ sur $\cald_f$.
\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\calc_f$ au point d'abscisse 4.
\item Tracer l'allure de $\calc_f$ en cohérence avec les questions précédentes.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
repere.orth(-6,12,12cm,-5,10);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
fin;
\end{emp}
\end{center}
\end{exercice}


\begin{exercice}[5 points]
Soit $g$ la fonction définie sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ g(x)=(x^2-2x)\sqrt{x} \]

\begin{enumerate}
\item Justifier que $g$ est dérivable sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ puis démontrer que, pour tout $x\in\intervalleOO{0}{+\infty}$ :
\[ g'(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x}(5x-6) \]
\item En utilisant le taux d'accroissement, démontrer que $g$ est dérivable en $0$.
\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[6 points]
On dispose d'une feuille cartonnée de forme carrée dont le côté mesure \SI{12}{\cm}. Dans chaque coin de cette feuille, on découpe un carré de côté $x$ de manière à obtenir, par pliage, une boite parallélépipédique sans couvercle.

On appelle $V(x)$ le volume du parallélépipède obtenu.

\begin{center}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\centering
\begin{emp}(0,0)
u:=0.6cm;
x:=1.75;
repere(-6,4.5,u,-4.5,6,u);
path p,q,c[];
p:=(4,4-x)--(4-x,4-x)--(4-x,4)--(-4+x,4);
q:=(4-x,-4+x)--(4-x,4-x);
for i:=0 upto 3:
 c[i]:=((4-x,4-x)--(4,4-x)--(4,4)--(4-x,4)--cycle) rotated (i*90);
 draw c[i] dashed evenly;
 fill c[i] avec hachures();
 draw p rotated (i*90) epaisseur 1;
 draw q rotated (i*90) dashed evenly;
endfor
marque_p:="";
drawdblarrow ((0,-4)--(0,4)) shifted (-4.5,0);
nomme.lft((-4.5,0),LaTeX("$12$"));
drawdblarrow ((-4,0)--(4,0)) shifted (0,4.5);
nomme.top((0,4.5),LaTeX("$12$"));
nomme.lft((4-x,4-x/2),LaTeX("$x$"));
nomme.bot((4-x/2,4-x),LaTeX("$x$"));
fin;
\end{emp}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\centering
\begin{emp}(0,0)
u:=0.6cm;
x:=1.75;
a:=2.5;
repere(-6,6,u,-4.5,6,u);
 fill (-4+x,-4+x)--(4-x,-4+x)--(4-x,-4+2x)--(-4+x,-4+2x)--cycle couleur 0.8white;
 fill (4-x,-4+x)--(4-x+a,-4+x+a)--(4-x+a,-4+2x+a)--(4-x,-4+2x)--cycle couleur 0.8white;
 draw (-4+x,-4+x)--(-4+x+a,-4+x+a)--(-4+x+a,-4+2x+a) dashed evenly;
 draw (-4+x+a,-4+x+a)--(4-x+a,-4+x+a) dashed evenly;
 drawoptions (epaisseur 1);
 draw (-4+x,-4+x)--(4-x,-4+x)--(4-x,-4+2x)--(-4+x,-4+2x)--cycle;
 draw (4-x,-4+2x)--(4-x+a,-4+2x+a)--(-4+x+a,-4+2x+a)--(-4+x,-4+2x);
 draw (4-x,-4+x)--(4-x+a,-4+x+a)--(4-x+a,-4+2x+a);
marque_p:="";
nomme.lft((-4+x,-4+3x/2),LaTeX("$x$"));
nomme.rt((4-x,-4+3x/2),LaTeX("$x$"));
fin;
\end{emp}
\end{minipage}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de $V$.
\item Exprimer $V(x)$ en fonction de $x$.
\item Étudier les variations de $V$ et déterminer la valeur de $x$ qui rend le volume maximal.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[3 points]
Démontrer que, pour tout réel $x\geqslant 0$, on a : \[ 2\sqrt{x}-x\leqslant 1 \] 
\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}

