\chapter{Dérivation des fonctions}

\section{Généralités}

\subsection{Limite en 0}

\begin{definition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $0$ et $L \in \R$.

On dit que $f(x)$ \motdef{tend vers} $L$ quand $x$ tend vers $0$ (ou que $L$ \motdef{est la limite de} $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$) si on peut rendre $f(x)$ aussi proche de $L$ que l'on veut pour $x$ suffisamment proche de $0$. On note : $\ds\limo f(x)=L$
\end{definition}

\begin{exemple}
$\ds \limo x^{2}=0$ \hspace{1em} $\ds \limo x+1=1$ \hspace{1em} $\ds \limo \sqrt{x}+x-2=-2$...
\end{exemple}

\vspace{-0.5\baselineskip}
\begin{exemple}
Déterminer la limite en 0 de $\dfrac{x^{2}-2x}{3x}$.
\end{exemple}

\begin{repex}
Pour tout $x\neq 0$, $\dfrac{x^{2}-2x}{3x}=\dfrac{x-2}{3}$ donc $\ds \limo\dfrac{x^{2}-2x}{3x}=-\dfrac{2}{3}$.
\end{repex}


\subsection{Nombre dérivé}
\begin{definition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Soit $a \in I$ et $h \neq 0$ tel que $a+h \in I$.

On appelle \motdef{taux de variation} de $f$ entre $a$ et $a+h$ le réel $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

On dit que $f$ est \motdef{dérivable} en $a$ si, lorsque $h$ tend vers $0$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ tend vers un réel $L$ autrement dit si $\ds \limo[h]\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=L$.

Ce réel $L$ est appelé \motdef{nombre dérivé} de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$.
\end{definition}

\begin{exemple}
Démontrer que la fonction $f : x \longmapsto x^{2}$ est dérivable en 2 et calculer $f'(2)$.

Démontrer que la fonction $g : x \longmapsto \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en 0.
\end{exemple}

\begin{repex}
\begin{itemize}
\item 
Pour tout $h\neq 0$, $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{(2+h)^{2}-4}{h}=\dfrac{h^{2}+4h}{h}=h+4$

Ainsi $\ds \limo[h]\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=4$.

$f$ est donc dérivable en 2 et $f'(2)=4$.

\item Pour tout $h\neq 0$, $\dfrac{g(0+h)-g(0)}{h}=\dfrac{\sqrt{h}}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}$.

Or, $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ n'a pas de limite finie lorsque $h$ tend vers 0 donc $g$ n'est pas dérivable en 0.
\end{itemize}
\end{repex}

\newpage
\subsection{Interprétation graphique}
\begin{theoreme}
Soit $f$ une fonction définie sur $I$ et $\calc_f$ sa représentation graphique dans un repère. Soit $a\in I$.

Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f'(a)$ est \motimp{le coefficient directeur} de la tangente à $\calc_f$ au point
$A(a;f(a))$. L'équation de cette tangente est alors : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
\end{theoreme}

\begin{minipage}{9cm}
Illustration :
Soit $A(a;f(a))\in \calc_f$.\par Soit $h \neq 0$ et $M(a+h;f(a+h))\in \calc_f$.

Le quotient $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ représente le coefficient directeur de la droite $(AM)$. Lorsque $h$ tend vers 0, $M$ se rapproche de $A$ et la droite $(AM)$ tend à se confondre avec la tangente à $\calc_f$ en $A$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(-1.5,4,1cm,-1,4,1cm);
vardef f(expr x)= 0.5*((x-1)**2)+0.5 enddef;
 path Cf,p;
 Cf:=courbefonc(f,-1,4,40);
 p:=tangente(Cf,1.5);
 draw axes.llft(0,0);
 draw Cf;
 draw p;
 pair A,B,C;
 A:=_c(1.5,f(1.5));
 B:=_c(3.5,f(3.5));
 C:=_c(2.5,f(2.5));
 draw droite(A,B) dashed evenly;
 draw droite(A,C) dashed evenly;
 draw B withpen pencircle scaled 2bp;
 draw C withpen pencircle scaled 2bp;
 draw projectionaxes(A,LaTeX("$a$"),LaTeX("$f(a)$")) dashed evenly;
 draw projectionaxes(B,LaTeX("$a+h$"),LaTeX("$f(a+h)$")) dashed evenly;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{demonstration}
Soit $T$ la tangente à la courbe au point $A$.
Son coefficient directeur est $f'(a)$ donc l'équation réduite de $T$ est de la forme $y=f'(a)x+b$.

$A\in T$ donc $f(a)=f'(a)a+b$ donc $b=f(a)-af'(a)$.

L'équation de $T$ est donc $y=f'(a)x+f(a)-af'(a)$ soit $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
\end{demonstration}

%\subsection{Approximation affine}
%\begin{theoreme}
%Soit $f$ une fonction définie sur $I$ et dérivable en $a\in I$.
%\begin{itemize}
%\item Il existe une fonction $\varphi$ telle que pour tout réel $h$ avec $a+h\in I$ :
%\[f(a+h)=f(a)+hf'(a)+h\varphi(h)\hspace{2em}\text{et}\hspace{2em}\limo{h}\varphi(h)=0\]
%\item La fonction $h \longmapsto f(a)+hf'(a)$ est une approximation affine de $f$ pour $h$ proche de 0.
%\end{itemize}
%\end{theoreme}
%
%\begin{demonstration}
%Pour $h\neq 0$, on pose $\varphi(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a)$.
%
%$f$ est dérivable en $a$ donc lorsque $h$ tend vers 0, $\varphi(h)$ tend vers $f'(a)-f'(a)=0$.
%
%De plus, $h\varphi(h)=f(a+h)-f(a)+hf'(a)$ soit $f(a+h)=f(a)+hf'(a)+h\varphi(h)$
%\end{demonstration}


\section{Calculs de dérivées}

\subsection{Fonction dérivée}

\begin{definition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
\begin{itemize}
\item Si, pour tout $x$ de $I$, $f$ est dérivable en $x$, on dit que $f$ est \motdef{dérivable sur} $I$.
\item La fonction définie sur $I$ par $x \longmapsto f'(x)$ est appelée \motdef{fonction dérivée} de $f$. Cette fonction est notée $f'$.
\end{itemize}
\end{definition}

\subsection{Dérivées usuelles}
\subsubsection*{Fonctions constantes}
\begin{theoreme}

\begin{tabular}[t]{p{10cm}l}
Si $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : & $f(x)=k$ \\
alors $f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ : & $f'(x)=0$.
\end{tabular}
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
Pour tout réel $a$ et $h\neq 0$, 
\[\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{k-k}{h}=0\]

$f$ est donc dérivable en $a$ et $f'(a)=0$.
\end{demonstration}

\subsubsection*{Fonctions affines}
\begin{theoreme}
\begin{tabular}[t]{p{10cm}l}
Si $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : & $f(x)=mx+p$ \\
alors $f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ : & $f'(x)=m$.
\end{tabular}
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
Pour tout réel $a$ et $h\neq 0$,
\[\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{m(a+h)+p-ma-p}{h}=\dfrac{mh}{h}=m\]

$f$ est donc dérivable en $a$ et $f'(a)=m$
\end{demonstration}

\subsubsection*{Fonction carré}
\begin{theoreme}
\begin{tabular}[t]{p{10cm}l}
Si $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : & $f(x)=x^{2}$ \\
alors $f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ : & $f'(x)=2x$.
\end{tabular}
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
Pour tout réel $a$ et $h\neq 0$,
\[\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}=\dfrac{2ah+h^{2}}{h}=2a+h\]

De plus, $2a+h$ tend vers $2a$ lorsque $h$ tend vers 0.
$f$ est donc dérivable en $a$ et $f'(a)=2a$.
\end{demonstration}

\subsubsection*{Fonctions puissances}
\begin{theoreme}
Soit $n$ un entier tel que $n \geqslant  1$.

\begin{tabular}{p{10cm}l}
Si $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : & $f(x)=x^{n}$ \\
alors $f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ : & $f'(x)=nx^{n-1}$.
\end{tabular}
\end{theoreme}

Résultat admis.

\subsubsection*{Fonction inverse}
\begin{theoreme}
\begin{tabular}[t]{p{11.4cm}l}
Si $f$ est la fonction définie sur $\intervalleOO{-\infty}{0}\cup\intervalleOO{0}{+\infty}$ par : & $f(x)=\dfrac{1}{x}$ \\
alors $f$ est dérivable sur $\intervalleOO{-\infty}{0}$ et sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ et pour tout $x\neq 0$ : & $f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}$
\end{tabular}
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
Pour tout réel $a\neq 0$ et $h\neq 0$, \[\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a}}{h}=\dfrac{a-(a+h)}{ha(a+h)}=\dfrac{-1}{a(a+h)}\]

Or $\dfrac{-1}{a(a+h)}$ tend vers $-\dfrac{1}{a^{2}}$ lorsque $h$ tend vers 0.

$f$ est donc dérivable en $a$ et $f'(a)=-\dfrac{1}{a^{2}}$
\end{demonstration}

\subsubsection*{Fonction racine carrée}
\begin{theoreme}
\begin{tabular}[t]{p{10cm}l}
Si $f$ est la fonction définie sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$ par : & $f(x)=\sqrt{x}$ \\
alors $f$ est dérivable sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ et pour tout réel $x>0$ : & $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
\end{tabular}
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
Pour tout réel $a>0$ et $h\neq 0$ tel que $a+h>0$,
\begin{multline*}
\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}=\dfrac{(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}\\
=\dfrac{a+h-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}=\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}
\end{multline*}
Or, lorsque $h$ tend vers 0, $\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}$ tend vers $\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$

$f$ est donc dérivable en $a$ et $f'(a)=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$
\end{demonstration}

%\subsubsection*{Fonctions trigonométriques}
%\begin{theoreme}
%Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\R$ et pour tout réel $x$ :
%\[\sin'(x)=\cos(x)\hspace{2em}\text{et}\hspace{2em}\cos'(x)=-\sin(x)\]
%\end{theoreme}
%
%Résultat admis.

\subsection{Opérations sur les fonctions et dérivées}
$u$ et $v$ désignent deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un réel.

\begin{theoreme}
\begin{tabular}[t]{p{8cm}l}
La fonction $u+v$ est dérivable sur $I$ et & $(u+v)'=u'+v'$.\\
La fonction $k u$ est dérivable sur $I$ et & $(k u)'=k u'$.
\end{tabular}
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
Pour tout $a\in I$ et $h\neq 0$ tel que $a+h\in I$ :

\begin{align*}
\dfrac{(u+v)(a+h)-(u+v)(a)}{h}&=\dfrac{u(a+h)+v(a+h)-u(a)-v(a)}{h}\\
&=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}+\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}
\end{align*}

dont la limite est $u'(a)+v'(a)$ lorsque $h$ tend vers 0.

\[\dfrac{(k u)(a+h)-(k u)(a)}{h}=\dfrac{k u(a+h)-k u(a)}{h}=k \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}\]

dont la limite est $k u'(a)$ lorsque $h$ tend vers 0.
\end{demonstration}

\begin{exemple}
Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ par $f(x)=3x^{2}+\dfrac{1}{3x}-5\sqrt{x}+2$
\end{exemple}

\begin{repex}
$f$ est dérivable sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ car elle est la somme de fonctions dérivables sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$

et, pour tout $x\in\intervalleOO{0}{+\infty}$, $f'(x)=3\times 2x+\dfrac{1}{3}\times \left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)-5\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ainsi :
\[f'(x)=6x-\dfrac{1}{3x^{2}}-\dfrac{5}{2\sqrt{x}}\]
\end{repex}

%\vspace*{2ex}
\begin{theoreme}
\begin{tabular}[t]{p{8cm}l}
La fonction $uv$ est dérivable sur $I$ et & $(uv)'=u'v+uv'$.\\
La fonction $u^{2}$ est dérivable sur $I$ et & $(u^{2})'=2uu'$.
\end{tabular}
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
Pour tout $a\in I$ et $h\neq 0$ tel que $a+h\in I$ :
\begin{align*}
\dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}&=\dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a+h)+u(a)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}\\
&=\underbrace{\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}}_{\text{tend vers } u'(a)}\times v(a+h)+\underbrace{\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}}_{\text{tend vers } v'(a)}\times u(a)
\end{align*}

dont la limite est $u'(a)v(a)+v'(a)u(a)$ lorsque $h$ tend vers 0.

Ainsi $uv$ est dérivable et $(uv)'=u'v+uv'$.
\end{demonstration}

\begin{exemple}
Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(x^{2}+1)(x^{5}+2)$
\end{exemple}

\begin{repex}
$f(x)=u(x)v(x)$ avec $u(x)=x^{2}+1$ et $v(x)=x^{5}+2$.

$f$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$ et
\[f'(x)=2x(x^{5}+2)+5x^{4}(x^{2}+1)\]
\end{repex}

\begin{theoreme}
Si $v$ ne s'annule pas sur $I$

\begin{tabular}{p{8cm}l}
La fonction $\dfrac{1}{v}$ est dérivable sur $I$ et & $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^{2}}$\\
La fonction $\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ et & $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$
\end{tabular}
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
Pour tout $a\in I$ et $h\neq 0$ tel que $a+h\in I$ :
\[\dfrac{\dfrac{1}{v(a+h)}-\dfrac{1}{v(a)}}{h}=\dfrac{v(a)-v(a+h)}{hv(a+h)v(a)}=-\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}\times \dfrac{1}{v(a)v(a+h)}\]

dont la limite est $-v'(a)\times \dfrac{1}{(v(a))^{2}}$ lorsque $h$ tend vers 0.

Ainsi $\dfrac{1}{v}$ est dérivable et $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^{2}}$

De plus \[\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\left(u\times \dfrac{1}{v}\right)'=u'\times \dfrac{1}{v}+u\times \left(-\dfrac{v'}{v^{2}}\right)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\]
\end{demonstration}

\begin{exemple}
Déterminer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\intervalleOO{2}{+\infty}$ par $f(x)=\dfrac{3}{2x-4}$ et de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\dfrac{3x+5}{2x^{2}+1}$
\end{exemple}

\begin{repex}
Pour tout $x\in\intervalleOO{2}{+\infty}$, $f(x)=k\times \dfrac{1}{u(x)}$ avec $k=3$ et $u(x)=2x-4$.

$f$ est donc dérivable sur $\intervalleOO{2}{+\infty}$ et $f(x)=3\times \left(-\dfrac{2}{(2x-4)^{2}}\right)=\dfrac{-6}{(2x-4)^{2}}$.

Pour tout réel $x$, $g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x)=3x+5$ et $v(x)=2x^{2}+1$.

$g$ est donc dérivable sur $\R$ et \[g(x)=\dfrac{3(2x^{2}+1)-4x(3x+5)}{(2x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{-6x^2-20x+3}{(2x^{2}+1)^{2}}\]
\end{repex}

%\begin{theoreme}
%% Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. Soient $a$ et $b$ deux réels.
%% 
%% Soit $J$ l'intervalle formé des réels $x$ tels que $ax+b$ appartient à $I$.
%% 
%% La fonction $g$ définie par $g(x)=f(ax+b)$ est dérivable sur $J$ et :
%% 
%% \hspace*{2cm} pour tout $x\in J$, $g'(x)=af'(ax+b)$.
%Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $J$ et $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ telle que, pour tout $x$ de $I$, $u(x)\in J$.
%
%La fonction $f \circ u$ est dérivable et, pour tout réel $x$ de $I$ : \[(f\circ u)'(x)=u'(x)\times f'(u(x))\]
%\end{theoreme}
%
%\begin{exemple}
%Calculer la dérivée de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$.
%\end{exemple}
%
%\begin{repex}
%Pour tout réel $x$, $g(x)=f\circ u (x)$ avec $u(x)=2x+\dfrac{\pi}{3}$ et $f(x)=\cos(x)$.
%
%$g$ est donc dérivable sur $\R$ et $g'(x)=-2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$
%\end{repex}

\subsection{En résumé}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}[t]{|c|c|c|} \hline
 \rowcolor{LFBcoultable1}Si $f(x)=$ & alors $f'(x)=$ & Domaine de validité \\ \hline
 $k$ & $0$ & $\R$ \\ \hline
 $ax+b$ & $a$ & $\R$ \\ \hline
 $x^2$ & $2x$ & $\R$ \\ \hline
 $\dfrac{1}{x}$ & $-\dfrac{1}{x^2}$ & $\R^*$ \\ \hline
 $x^n$ & $nx^{n-1}$ & $\R$, $n\in\N^*$\\ \hline
 $\sqrt{x}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ & $\R^{+*}$ \\ \hline
\end{tabular}
\hfill
\begin{tabular}[t]{|c|c|c|} \hline
 \rowcolor{LFBcoultable1}Si $f=$ & alors $f'=$ & Domaine de validité \\ \hline
 $u+v$ & $u'+v'$ & $I$ \\ \hline
 $ku$ & $ku'$ & $I$ \\ \hline
 $uv$ & $u'v+uv'$ & $I$ \\ \hline
 $\dfrac{1}{v}$ & $-\dfrac{v'}{v^2}$ & $\{x\in I, v(x)\neq0\}$ \\ \hline
 $\dfrac{u}{v}$ & $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ & $\{x\in I, v(x)\neq0\}$ \\ \hline
\end{tabular}

\end{center}



\section{Applications de la dérivation}

\subsection{Dérivée et variations}

\begin{theoreme}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
\begin{itemize}[leftmargin=2em]
\item $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si pour tout $x$ de $I$, $f'(x)\geqslant  0$.
\item $f$ est constante sur $I$ si et seulement si pour tout $x$ de $I$, $f'(x)=0$.
\item $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si pour tout $x$ de $I$, $f'(x)\leqslant 0$.
\end{itemize}
\end{theoreme}

Propriété admise.

\begin{remarque}
On utilise souvent les résultats suivants :
\begin{itemize}
\item Si, pour tout $x$ de $I$, $f'(x)>0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
\item Si, pour tout $x$ de $I$, $f'(x)<0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
\end{itemize}
\end{remarque}

\vspace{-0.75\baselineskip}
\begin{exemple}
Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^{3}+2x$.
\end{exemple}
\begin{repex}
$f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout $x\in \R$, $f'(x)=3x^{2}+2>0$.

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
\end{repex}

\subsection{Extremum local}
\begin{theoreme}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_{0}\in I$.

On dit que $f(x_{0})$ est un \motdef{maximum local} (respectivement \motdef{minimum local}) de $f$ si l'on peut trouver un intervalle ouvert $J$ inclus dans $I$ et contenant $x_{0}$ tel que pour tout $x\in J$, $f(x)\leqslant f(x_{0})$ (respectivement $f(x)\geqslant  f(x_{0})$).
\end{theoreme}

\begin{minipage}{7.5cm}
\begin{exemple}
Une fonction est représentée ci-contre.

Son minimum est $-2$

Son maximum est $2$.

$-1$ et $-2$ sont des minimums locaux

$1$ et $2$ sont des maximums locaux.
\end{exemple}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{6.5cm}
\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(-5,4.9,0.6cm,-3,2.9,0.6cm);
 path p;
 p:= _c(-5,-2).._c(-4,0).._c(-3,1){right}.._c(-1,-1){right}.._c(0,1).._c(1,2){right}.._c(2,1).._c(4,0);
 draw axes.llft(1,0);
 draw p;
fin;

\end{mplibcode}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{theoreme}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $x_{0}\in I$.

Si $f(x_{0})$ est un extremum local de $f$ alors $f'(x_{0})=0$.
\end{theoreme}

\begin{remarque}
La réciproque de cette propriété est fausse.
\end{remarque}

\begin{theoreme}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $x_{0}\in I$.

Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $x_{0}$ alors $f(x_{0})$ est un extremum local de $f$.
\end{theoreme}
