\chapter{Dérivation des fonctions}

\section{Définitions}
\subsection{Nombre dérivé}
\begin{definition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Soit $a \in I$ et $h \neq
0$ tel que $a+h \in I$.

On appelle taux de variation de $f$ entre $a$ et $h$ le réel
$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

On dit que $f$ est dérivable en $a$ si, lorsque $h$ tend vers 0, le taux de
variation de $f$ entre $a$ et $h$ tend vers un réel $L$ autrement dit si $\ds
\limo[h]\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=L$.

Ce réel $L$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$.
\end{definition}

Remarque : Si $f$ est dérivable en $a$, on a aussi
$f'(a)=\displaystyle\limite{a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
repere(-1.5,4,1.1cm,-1,4,1.1cm);
 vardef f(expr x)= 0.5*((x-1)**2)+0.5 enddef;
 path Cf;path p;
 Cf:=courbefonc(f,-1,4,40);
 p:=tangente(Cf,1.5);
 draw axes(0,0);
 draw Cf;
 draw p;
 pair A,B,C;
 A:=_c(1.5,f(1.5));
 B:=_c(3.5,f(3.5));
 C:=_c(2.5,f(2.5));
 draw droite(A,B) dashed evenly;
 draw droite(A,C) dashed evenly;
 draw B withpen pencircle scaled 2bp;
 draw C withpen pencircle scaled 2bp;
 draw projectionaxes(A,LaTeX("$a$"),LaTeX("$f(a)$")) dashed evenly;
 draw projectionaxes(B,LaTeX("$a+h$"),LaTeX("$f(a+h)$")) dashed evenly;
fin;
\end{emp}
\end{center}

\begin{exemple}
Démontrer que la fonction $f : x \longmapsto x^{2}+5x$ est dérivable en 2 et calculer $f'(2)$.

\end{exemple}

\begin{repex}
Pour tout $h\neq 0$ :

 $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{(2+h)^{2}+5(2+h)-14}{h}=\dfrac{h^{2}+4h+4+10+5h-14}{h}=\dfrac{h^{2}+9h}{h}=h+9$

Ainsi $\ds \limo[h]\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=9$.

$f$ est donc dérivable en 2 et $f'(2)=9$.
\end{repex}

\vspace{\baselineskip}
\begin{definition}
Soit $f$ une fonction définie sur $I$ et $C_{f}$ sa représentation graphique
dans un repère. Soit $a\in I$.

Si $f$ est dérivable en $a$ alors on appelle tangente à $C_{f}$ au point
$A(a;f(a))$ la droite passant par $A$ et de coefficient
directeur $f'(a)$.

L'équation de cette tangente est alors : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
\end{definition}


\subsection{Fonction dérivée}

\begin{definition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
\begin{itemize}
\item Si, pour tout $x$ de $I$, $f$ est dérivable en $x$, on dit que $f$ est
dérivable sur $I$.
\item La fonction définie sur $I$ par $x \longmapsto f'(x)$ est appelée fonction
dérivée de $f$. Cette fonction est notée $f'$.
\end{itemize}
\end{definition}

\begin{exemple}
Soit $f$ définie sur $\R$ par $f : x \longmapsto x^{2}+5x$. Démontrer que $f$ est dérivable sur $\R$ et déterminer $f'$
\end{exemple}

\begin{repex}
Soit $a\in\R$

Pour tout $h\neq 0$ :

$\begin{aligned}
\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\dfrac{(a+h)^{2}+5(a+h)-(a^2+5a)}{h}=\dfrac{a^{2}+2ah+h^2+5a+5h-a^2-5a}{h}\\
&=\dfrac{h^{2}+2ah+5h}{h}
=\dfrac{h(h+2a+5)}{h}=h+2a+5
\end{aligned}$

Ainsi $\ds \limo[h]\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=2a+5$.

$f$ est donc dérivable en $a$ et $f'(a)=2a+5$.

Conclusion : $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x)=2x+5$
\end{repex}


\section{Calculs des dérivées}

\subsection{Dérivées usuelles}
\begin{theoreme}
Les fonctions ci-dessous sont dérivables et leur fonction dérivée est donnée
par le tableau suivant :
\end{theoreme}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
 \rowcolor{LFBcoultable1}Si $f(x)=$ & alors $f'(x)=$ & Domaine de validité \\ \hline
 $k$ & $0$ & $\R$ \\ \hline
 $ax+b$ & $a$ & $\R$ \\ \hline
 $x^2$ & $2x$ & $\R$ \\ \hline
 $\dfrac{1}{x}$ & $-\dfrac{1}{x^2}$ & $\R^*$ \\ \hline
 $x^n$ & $nx^{n-1}$ & $\R$, $n\in\N^*$\\ \hline
 $x^n$ & $nx^{n-1}$ & $\R^*$, $n\in\Z^{-*}$\\ \hline
 $\sqrt{x}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ & $\R^{+*}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
%\vspace{0.5\baselineskip}


\subsection{Opérations sur les dérivées}
\begin{theoreme}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un
réel.

Les fonctions $u+v$, $ku$ et $uv$ sont dérivables sur $I$, les fonctions $\dfrac{1}{v}$ et $\dfrac{u}{v}$ sont dérivables lorsque $v$ ne s'annule pas et leur fonction dérivée est donnée par le tableau ci-dessous.
\end{theoreme}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
 \rowcolor{LFBcoultable1}Si $f=$ & alors $f'=$ & Domaine de validité \\ \hline
 $u+v$ & $u'+v'$ & $I$ \\ \hline
 $ku$ & $ku'$ & $I$ \\ \hline
 $uv$ & $u'v+uv'$ & $I$ \\ \hline
 $\dfrac{1}{v}$ & $-\dfrac{v'}{v^2}$ & $\{x\in I, v(x)\neq0\}$ \\ \hline
 $\dfrac{u}{v}$ & $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ & $\{x\in I, v(x)\neq0\}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}



\section{Applications de la dérivation}

\begin{theoreme}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
\begin{itemize}[leftmargin=3em]
 \item Si, pour tout $x$ de $I$, $f'(x)=0$ alors $f$ est constante sur $I$.
 \item Si, pour tout $x$ de $I$, $f'(x)>0$ alors $f$ est strictement croissante
sur $I$.
 \item Si, pour tout $x$ de $I$, $f'(x)<0$ alors $f$ est strictement
décroissante sur $I$.
\end{itemize}
\end{theoreme}

\begin{exemple}
Déterminer les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+5x+3$
\end{exemple}

\begin{repex}
$f$ est dérivable sur $\R$ et sa dérivée est $f'(x)=2x+5$.

$f'$ est une fonction affine croissante qui s'annule en $-\frac{5}{2}$.

On peut donc tracer le tableau de signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$ :
   \begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=3,
            lgt=2.1,
            deltacl=0.4]
{$x$ /0.5,
Signe de\\
$f'(x)$ /1,
Variations\\
de $f$ /1.5
}
{$-\infty$,$-\frac{5}{2}$,$+\infty$}

\tkzTabLine{,-,z,+,}

\tkzTabVar{+/,-/$-\frac{13}{4}$,+/}

\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{repex}