\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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              pdftitle={Exercices d'entrainement : démontrer une égalité},%
              pdfauthor={O. Péault},%
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\newenvironment{indication}{%
    \par\begin{itshape}Indication : }%
    {\end{itshape}}


\begin{document}
 \titre{Démontrer une égalité}
 \classe{\prems}
 \typedoc*{Entrainement}{3}
 \date{}
 
\affichetitre


Il arrive fréquemment que l'on doive prouver l'égalité de deux nombres ou de deux expressions algébriques. Voici différentes méthodes qui permettent d'y arriver.

Attention : l'égalité de valeurs approchées données à la calculatrice n'est pas une preuve de l'égalité des deux nombres, car ces valeurs approchées sont souvent tronquées.

\section{Transformer un des deux nombres pour obtenir l'autre}


\begin{exercice}
Démontrer que l'on a :  \[1+3\sqrt{3}=\left( 2\sqrt{3}-1 \right)\left( 2+\sqrt{3} \right)-3\]

\begin{indication}
Partir du nombre du second membre, car c'est le plus compliqué. Le simplifier afin d'obtenir le nombre du premier membre.
\end{indication}

\end{exercice}

\begin{exercice}
Démontrer que : \[\text{Pour tout réel }t\neq0, \qquad\dfrac{2(t-1)}{t^2}-\dfrac{t+3}{t}=\dfrac{-t^2-t-2}{t^2}\]
\end{exercice}


\section{Montrer que les deux nombres sont égaux à un même troisième}


\begin{exercice}
Démontrer que : \[\left( \sqrt{2}-1 \right)\left( 10\sqrt{2}+14 \right)=\left( \sqrt{2}+2 \right)^2\]

\begin{indication}
Transformer chacun des deux membres et constater qu'ils sont égaux au même nombre réel.
\end{indication}

\end{exercice}

\begin{exercice}
Démontrer que : \[\text{Pour tout réel $x$ distinct de $-2$ et $-3$,} \qquad \dfrac{x-1}{2x+6}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{-2}{x+3}+\dfrac{x+4}{2x+4}\]
\end{exercice}



\section{Montrer que les carrés de deux nombres positifs sont égaux}


Remarque : Si $A$ et $B$ sont positifs, $A^2 = B^2$ entraîne $A = B$.

\begin{exercice}
Montrer que : \[5 + 4 \sqrt{2} =   \sqrt{57 + 40 \sqrt{2}}\]

\begin{indication}
Vérifier qu'ils sont positifs et calculer leur carré.
\end{indication}
\end{exercice}



\section{Calculer la différence des deux nombres}


Remarque : $A - B = 0$ équivaut à $A = B$.

\begin{exercice}
Démontrer que : \[\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1\]

\begin{indication}
Vérifier que la différence de ces deux nombres est égale à 0.
\end{indication}
\end{exercice}


\section*{Applications}


\begin{exercice}
Choisir la meilleure méthode pour démontrer les égalités suivantes :

%\vspace{1ex}
\begin{enumerate}[itemsep=2ex]
\item Pour tout $x\neq1$, $\dfrac{1-x^5}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4$

\item  $2-\dfrac{1}{5}=\left( \sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{5} \right)\left( \sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{5} \right)$

\item Pout tout $y\neq2$, $\dfrac{y(1-y)}{2-y}=y+1-\dfrac{2}{2-y}$

\item $3+5\sqrt{2}=\sqrt{59-30\sqrt{2}}$

\item Pour tous réels $a$ et $b$, $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$

\item $\dfrac{8}{\sqrt{5}-1}=2\left( \sqrt{5}+1 \right)$

\item $\sqrt{125}-\sqrt{20}=\dfrac{3}{5}\sqrt{125}$
\end{enumerate}
\end{exercice}




\end{document}