\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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\everymplib{verbatimtex \leavevmode etex;
            input repere;
            color coul[];
            coul1:=(0,0,0.5);
            coul2:=(0.3,0,0.6);
            coul3:=(0.5,0,0);
            boolean solution;
            if \mpdim{\sol}>0: solution=true else: solution=false fi;
            }

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  \usepackage[%
              unicode,%
              pdftitle={Devoir surveillé de première S sur la trigonométrie},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}
              
              
\newboolean{solution}

\NewEnviron{corrige}{\ifthenelse{\boolean{solution}}
                                {\par\medskip\color{blue}\large\BODY
                                \par\medskip}
                                {}
                    }


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\newcommand\raye{\bgroup\markoverwith
{\textcolor{red}{\textbackslash}}\ULon}




\begin{document}
 \titre{Trigonométrie}
 \classe{\prems}
 \typedoc{DS}{15}
 \duree{1 heure}
 \date{10 mai 2019}
 
\affichetitre

{\Large\bfseries Nom :}

\bigskip


\begin{exercice}[5 points]
Soit $ABC$ un triangle équilatéral de sens direct. On construit :
\begin{itemize}
\item un parallélogramme de sens direct $BDEC$ tel que $(\vect{DE},\vect{DB})=\dfrac{3\pi}{4}+k\times2\pi$,
\item un point $F$ tel que $(\vect{EC},\vect{EF})=\dfrac{\pi}{2}+k\times2\pi$,
\item un parallélogramme de sens direct $EFGH$ tel que $(\vect{EF},\vect{EH})=\dfrac{7\pi}{12}+k\times2\pi$.
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);
u:=0.5cm;
pair A,B,C,D,E,F,G,H;
B:=(2,9)*u;
D:=(6,6)*u;
F-E=(C-E) rotated 90;
E-C=D-B;
G-F=1.2(E-F) rotated -75;
C=(8,9)*u;
H-G=E-F;
A:=(5,9+3*sqrt(3))*u;
draw B--D--E--F--G--H--E--C--A--B--C;
label.top(textext("$A$"), A);
label.llft(textext("$D$"), D);
label.llft(textext("$F$"), F);
label.lrt(textext("$G$"), G);
label.urt(textext("$H$"), H);
label.top(textext("$E$"), E);
label.urt(textext("$C$"), C);
label.lft(textext("$B$"), B);
numeric k;
k:=0.8*u;
draw E+k*unitvector(C-E)--E+(k*sqrt(2)*unitvector(C-E))rotated 45--E+k*unitvector(F-E);
drawarrow D+k*unitvector(E-D)..D+(k*unitvector(E-D))rotated 45..D+k*unitvector(B-D);
drawarrow E+k*unitvector(F-E){(F-E) rotated 90}..{(H-E) rotated 90}E+k*unitvector(H-E);
label.top(textext("$\frac{3\pi}{4}$"), D+(k*unitvector(E-D))rotated 45);
label.bot(textext("$\frac{7\pi}{12}$"), E+(k*unitvector(F-E))rotated 45);
endfig;
\end{mplibcode}
\end{center}

Le but de l'exercice est de démontrer, en n'utilisant que des calculs sur les angles orientés, que les droites $(AB)$ et $(FG)$ sont perpendiculaires.

Les 4 premières questions sont indépendantes.

\begin{enumerate}[itemsep=1ex]
\item Déterminer, sans justifier, $(\vect{BA},\vect{BC})$.

\begin{corrige}
$(\vect{BA},\vect{BC}) = \boxed{-\dfrac{\pi}{3}+ 2\times k\pi}$
\end{corrige}

\item Démontrer que $(\vect{BC},\vect{BD})=\dfrac{7\pi}{4}+k\times2\pi$.

\begin{corrige}
$BCDE$ est un parallélogramme donc $\vect{BC}=\vect{DE}$. On a donc :

$(\vect{BC},\vect{BD}) = (\vect{DE},\vect{BD}) + k\times 2\pi = (\vect{DE},\vect{DB}) + \pi + k\times 2\pi = \dfrac{3\pi}{4}+\pi+ k\times 2\pi=\boxed{\dfrac{7\pi}{4}+k\times2\pi}$
\end{corrige}

\item Démontrer que $(\vect{BD},\vect{FE})=\dfrac{\pi}{2}+k\times2\pi$.

\begin{corrige}
$BCDE$ est un parallélogramme donc $\vect{BD}=\vect{CE}$. On a donc :

$(\vect{BD},\vect{FE}) = (\vect{CE},\vect{FE}) + k\times 2\pi = (\vect{EC},\vect{EF}) + k\times 2\pi = \boxed{\dfrac{\pi}{2}+k\times2\pi}$
\end{corrige}

\item Démontrer que $(\vect{FE},\vect{FG})=\dfrac{19\pi}{12}+k\times2\pi$.

\begin{corrige}
$EFGH$ est un parallélogramme donc $\vect{FG}=\vect{EH}$. On a donc :

$(\vect{FE},\vect{FG}) = (\vect{FE},\vect{EH}) + k\times 2\pi = (\vect{EF},\vect{EH}) + \pi + k\times 2\pi = \dfrac{7\pi}{12}+\pi+ k\times 2\pi = \boxed{\dfrac{19\pi}{12}+k\times2\pi}$
\end{corrige}

\item Déduire des questions précédentes que $(AB)$ et $(FG)$ sont perpendiculaires.

\begin{corrige}
$
\begin{aligned}
(\vect{BA},\vect{FG}) &= (\vect{BA},\vect{BC}) + (\vect{BC},\vect{BD}) + (\vect{BD},\vect{FE}) + (\vect{FE},\vect{FG}) + k\times 2\pi\\
&=-\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{7\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{19\pi}{12} + k\times 2\pi = \dfrac{7\pi}{2} + k\times 2\pi = -\dfrac{\pi}{2} + k\times 2\pi
\end{aligned}$

\fbox{Les droites $(AB)$ et $(FG)$ sont donc perpendiculaires.}
\end{corrige}
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[4 points]
En détaillant les calculs, simplifier les expressions ci-dessous.
\begin{enumerate}[label={$\alph*(x)=$},start=6,itemsep=1ex]
\item $\sin(x+\pi) - 3\sin(\pi-x)-5\sin(-x)$
\item $\cos(6\pi-x) - \cos(-5\pi+x) + \cos(15\pi-x)$
\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) + \sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) + \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) + \sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[2 points]
\begin{minipage}{0.65\linewidth}
Pour chacune des valeurs de $x$ ci-dessous :
\begin{itemize}
\item Déterminer la mesure principale de l'angle dont une mesure est $x$.
\item Placer le point correspondant sur le cercle trigonométrique.
\item Donner les valeurs de $\cos x$ et $\sin x$.
\end{itemize}

\begin{colenumerate}{2}
\item $x=\dfrac{37\pi}{4}$
\item $x=-\dfrac{49\pi}{6}$
\end{colenumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{mplibcode}
repere(-1.1,1.1,2cm,-1.1,1.1,2cm);
draw quadrillage(0.25,0.25);
draw axes(1,0);
draw cercle((0,0),1) epaisseur 1;
fin;
\end{mplibcode}

\end{minipage}



\end{exercice}


\begin{exercice}[3  points]
\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un réel de l'intervalle $\intervalleFF{-4\pi}{-3\pi}$. Déterminer $\sin x$ sachant que $\cos x=-0,28$.
\item On admet que $\sin\left(\frac{7\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.
Calculer la valeur exacte de $\cos\left(\frac{7\pi}{8}\right)$
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[6 points]
\begin{enumerate}
\item Résoudre, en détaillant les étapes, les équations suivantes dans $\R$. Placer sur un cercle trigonométrique les points correspondant aux solutions.
\begin{colenumerate}[label={$(E_{\arabic*}) : $},series=eq]{2}
\item $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
\item $\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
\end{colenumerate}
\item Résoudre les équations suivantes dans $\intervalleOF{-\pi}{\pi}$. Placer sur un cercle trigonométrique les points correspondant aux solutions.
\begin{colenumerate}[resume*=eq]{2}
\item $\cos \left(3x-\dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$
\item $2\sin^2x-\sin x-1=0$
\end{colenumerate}

\end{enumerate}
\end{exercice}


\end{document}