\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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\begin{document}
 \titre{Suites}
 \classe{\prems}
 \typedoc{DS}{10}
 \duree{1 heure}
 \date{1\ier{} février 2019}
 
\affichetitre

{\Large\bfseries Nom :}

\bigskip

\begin{exercice}[4 points]
Soit $\suite[v]$ la suite définie par :
\[ \begin{dcases*}
v_0=1 \\
v_{n+1}=-0,5v_n^2+v_n & pour tout $n\in\N$
\end{dcases*} \]

\begin{enumerate}
\item Sur la figure ci-dessous, on donne la représentation graphique de la fonction $f$ définie par \[ f(x)=-0,5x^2+x \]

Représenter, sur l'axe des abscisses, les 5 premiers termes de la suite.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere.orth(-0.25,1.5,12cm,-0.25,0.9);
draw quadrillage(0.25,0.25);
draw axes(0.25,0.5);
vardef f(expr x)=-0.5*(x**2)+x enddef;
path C,sr;
C=courbefonc(f)();
sr=suiterec(f,0,4,1);
draw C epaisseur 1;
if solution:
  draw droite(1,0) couleur bleu epaisseur 1;
  drawoptions(epaisseur 1 withcolor rouge);
  draw suiterecprojx.bot("v") dashed evenly;
  draw sr;
fi
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}


\begin{corrige}
On utilise la droite d'équation $y=x$ et on obtient le graphique ci-dessus.
\end{corrige}

\item Quel semble être le sens de variation de $v$ ? Quelle semble être la limite de $v$ ?


\begin{corrige}
La suite $v$ semble être décroissante et sa limite semble être $0$.
\end{corrige}

\item Déterminer par un calcul le sens de variation de $v$.

\begin{corrige}
Pour tout entier naturel $n$ :
$v_{n+1}-v_{n}=-0,5v_n^2 < 0$. \fbox{La suite $v$ est donc décroissante}.
\end{corrige}

\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[10 points]
Soit $\suite$ la suite définie par :
\[ \begin{dcases*}
u_0=15\\
u_{n+1}=\frac{3}{5}u_n-4 & pour tout $n\in\N$ 
\end{dcases*} \]

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$. Montrer que $(u_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.

\begin{corrige}
$u_1=\dfrac{3}{5}u_0-4=\dfrac{3}{5}\times15-4= \boxed{5}$
\quad et \quad
$u_2=\dfrac{3}{5}u_1-4=\dfrac{3}{5}\times5-4=3-4=\boxed{-1}$

$u_2-u_1=-1-5=-6$
\quad et \quad
$u_1-u_0=5-15=-10$ donc \fbox{$(u_n)$ n'est pas arithmétique.}

$\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{-1}{5}$
\quad et \quad
$\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}$ donc \fbox{$(u_n)$ n'est pas géométrique.}
\end{corrige}

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose :
\[  v_n=u_n+10 \]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

\begin{corrige}
Pour tout $n\in\N$ :

$v_{n+1}=u_{n+1}+10=\dfrac{3}{5}u_n-4+10=\dfrac{3}{5}(v_n-10)-4+10=\dfrac{3}{5}v_n-\dfrac{3}{5}\times10-4+10=\dfrac{3}{5}v_n$.

\fbox{La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q=\dfrac{3}{5}$ et de premier terme $v_0=u_0+10=25$}
\end{corrige}

\item En déduire, pour tout $n\in\N$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.

\begin{corrige}
$(v_n)$ est une suite géométrique donc :

Pour tout $n\in\N$, $v_n=v_0\times q^n=\boxed{25\times\left(\dfrac{3}{5}\right)^n}$
\end{corrige}

\item En déduire, pour tout $n\in\N$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\begin{corrige}
Pour tout $n\in\N$, $u_n=v_n-10=\boxed{25\times\left(\dfrac{3}{5}\right)^n-10}$
\end{corrige}

\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Donner, en justifiant, la valeur de $\ds\limn v_n$.

\begin{corrige}
On sait que $-1<\dfrac{3}{5}<1$ donc $\ds\limn \left(\dfrac{3}{5}\right)^n=0$.

On en déduit que $\ds\limn 25\times\left(\dfrac{3}{5}\right)^n=0$ et donc \fbox{$\ds\limn v_n=0$}
\end{corrige}

\item En déduire $\ds\limn u_n$.

\begin{corrige}
Pour tout $n\in\N$, $u_n=v_n-10$ donc \fbox{$\ds\limn u_n=-10$}
\end{corrige}

\item À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n<-9,9$.

\begin{corrige}
Les calculs successifs à la calculatrice montre que $u_{10}\approx -9,85$ et $u_{11}
 \approx -9,91$.
 
 \fbox{Le plus petit entier $n$ tel que $u_n<-9,9$ est donc $11$}
\end{corrige}
\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose :
\[ T_n=v_0+v_1+\dots +v_n\qquad \text{et}\qquad S_n=u_0+u_1+\dots +u_n\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :
\[ T_n=\frac{125}{2}\times\left(1-\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}\right) \]

\begin{corrige}
$(v_n)$ est une suite géométrique donc :

Pour tout $n\in\N$ :

$\begin{aligned}
T_n&=v_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=25\times\dfrac{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}}{1-\frac{3}{5}}=25\times\dfrac{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}}{\frac{2}{5}}\\
&=\boxed{\frac{125}{2}\times\left(1-\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}\right)}
\end{aligned}$
\end{corrige}
\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.

\begin{corrige}
Pour tout $n\in\N$ :

$\begin{aligned}
 S_n&=u_0+u_1+\dots +u_n=v_0-10+v_1-10+\dots +v_n-10=T_n+(n+1)\times(-10)\\
 &=\boxed{\frac{125}{2}\times\left(1-\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}\right)-10(n+1)}
\end{aligned}$
\end{corrige}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[6 points]
\begin{enumerate}
\item \label{arit} Démontrer que toute suite $v$ définie par $v_n=an+b$, où $a$ et $b$ sont des réels fixés, est arithmétique de raison $a$.

\begin{corrige}
Pour tout entier $n$, $v_{n+1}-v_n=a(n+1)+b-an-b=an+a+b-an-b=a$.

\fbox{La suite $v$ est donc arithmétique de raison $a$.}
\end{corrige}
\end{enumerate}

\bigskip
\bigskip
Soit $\suite$ la suite définie par :
\[ \begin{dcases*}
u_0=1\\
u_{n}=u_{n-1}+4n-3 & pour tout $n\in\N^*$ 
\end{dcases*} \]

\begin{enumerate}[resume]
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.

\begin{corrige}
$u_1=u_0+4\times1-3=1+4-3=\boxed{2}$ et $u_2=u_1+4\times2-3=2+8-3=\boxed{7}$
\end{corrige}
\item Soit $\suitep[v]$ la suite définie par : \[ v_n=u_{n}-u_{n-1} \]

\begin{enumerate}
\item Calculer $v_1$ et $v_2$.

\begin{corrige}
$v_1=u_1-u_0=2-1=\boxed{1}$ et $v_2=u_2-u_1=7-2=\boxed{5}$
\end{corrige}

\item Démontrer que $v$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme $v_1$ (on pourra utiliser la question \ref{arit}).

\begin{corrige}
Pour tout $n\in\N^*$, $v_n=u_n-u_{n-1}=4n-3$.
Donc, d'après la question \ref{arit},

\fbox{la suite $\suitep[v]$ est arithmétique de raison $4$ et de premier terme $v_1=1$.}
\end{corrige}

\item En utilisant les formules du cours, démontrer que, pour tout entier $n\geqslant1$,
\[ v_1+v_2+\dots +v_n = 2n^2-n \]


\begin{corrige}
$v$ est une suite arithmétique donc pour tout $n\geqslant1$, 
\[ v_1+v_2+\dots +v_n =n\times\dfrac{v_1+v_n}{2} = n\times\dfrac{1+4n-3}{2}= n\times\dfrac{4n-2}{2}=n(2n-1)=\boxed{2n^2-n}\]
\end{corrige}

\item En remarquant que $v_1+v_2+\dots +v_n = u_1-u_0 + u_2-u_1 + u_3-u_2+ \dots +u_n-u_{n-1}$ et en utilisant la question précédente, déterminer le terme général de $u_n$ en fonction de $n$.

\begin{corrige}
Pour tout $n\geqslant1$ :
\[ v_1+v_2+\dots +v_n = \raye{u_1}-u_0 + \raye{u_2}-\raye{u_1} + u_3-\raye{u_2}+ \dots +u_n-\raye{u_{n-1}} =u_n-u_0 \]

On peut donc écrire, pour tout $n\geqslant1$ : \[ u_n-u_0=2n^2-n \]

Cette égalité étant vraie aussi pour $n=0$, on en déduit : 
\[ \boxed{\text{Pour tout entier $n$, }u_n=2n^2-n+1} \]
\end{corrige}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\end{document}