\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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              pdftitle={Interrogation de première S sur les suites},%
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\begin{document}
 \titre{Dérivation}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Devoir}{9}
 \date{2 février 2018}
 \duree{1 heure}
 
\affichetitre


\begin{exercice}[4 points]
On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par :

\[ \begin{dcases*}
u_0=-0,75\\
u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n^2-u_n+2 & Pour tout $n\in\N$
\end{dcases*} \]
Sur le graphique, on donne la représentation graphique de la fonction $f$ définie par :  $f(x)= \dfrac{1}{2}x^2-x+2$.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);
repere.larg(-1.5,6,12cm,-0.5,7,9cm);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
vardef f(expr x)=0.5*(x**2)-x+2 enddef;
path C,sr;
C=courbefonc(f)();
sr=suiterec(f,0,3,-0.75);
draw C epaisseur 1;
solution:=\mpdim{\sol};
show solution;
if solution>0:
   draw droite(1,0) couleur bleu epaisseur 1;
   drawoptions(epaisseur 1 withcolor rouge);
   draw suiterecprojx.bot("u") dashed evenly;
   draw sr;
fi
fin;
endfig;
\end{mplibcode}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Sans faire de calcul, placer sur l'axe des abscisses les points d'abscisses $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

\begin{corr}
Voir la figure.

Ne pas oublier de tracer la droite d'équation $y=x$.
\end{corr}
\item Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\dfrac{1}{2}x^2-2x+2$. Démontrer que pour tout réel $x$, $g(x)\geqslant 0$.

\begin{corr}
$g$ est un polynôme du second degré dont le discriminant $\Delta$ est égal à 0. On en déduit que, pour tout réel $x$, $g(x)$ est du signe du coefficient de $x^2$ donc :

 \fbox{$g(x)\geqslant0$}
\end{corr}
\item Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.

\begin{corr}
Pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}u_n^2-u_n+2-u_n=\dfrac{1}{2}u_n^2-2u_n+2=g(u_n)\geqslant0$.

\fbox{La suite $(u_n)$ est donc croissante.}
\end{corr}
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[6 points]
\begin{enumerate}
\item Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ telle que $u_4=9$ et $u_8=21$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $r$ et $u_0$.

\begin{corr}
La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique donc $u_8=u_4+(8-4)\times r$.

$u_8=u_4+(8-4)\times r \Leftrightarrow 21=9+4r \Leftrightarrow 4r=12 \Leftrightarrow \boxed{r=3}$

La même formule appliquée à $u_0$ et $u_4$ donne : $u_0=u_4+(0-4)\times r=9-4\times3=\boxed{-3}$
\end{corr}

\item Calculer la somme $S=u_0+u_1+\dots + u_{31}$.

\begin{corr}
La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique donc :

$S=u_0+u_1+\dots u_{31}=(31+1)\times\dfrac{u_0+u_{31}}{2}=32\times\dfrac{-3-3+31\times3}{2}=32\times\dfrac{87}{2} =\boxed{1392}$
\end{corr}

\end{enumerate}

%\item Soit $(v_n)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n=\dfrac{3^{n+2}}{5^{n-1}}$.
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
%\item Quel est le sens de variation de cette suite ?
%\end{enumerate}
\item Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q>1$ et de premier terme $u_0>0$.

Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n=\dfrac{2}{u_n}$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison (en fonction de $q$).

\begin{corr}
Pour tout $n\in\N$, $v_{n+1}=\dfrac{2}{u_{n+1}}=\dfrac{2}{q\times u_n}=\dfrac{1}{q}\times\dfrac{2}{u_n}=\dfrac{1}{q}\times v_n$.

\fbox{La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{q}$}
\end{corr}
\item Déterminer $\ds\limn u_n$ puis $\ds\limn v_n$.

\begin{corr}
$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q>1$ et de premier terme $u_0>0$ donc \fbox{$\ds\limn u_n=+\infty$.}

$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0<\dfrac{1}{q}<1$ donc \fbox{$\ds\limn v_n=0$.}
\end{corr}
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[10 points]
Soit $\suite$ la suite définie par :
\[ \begin{dcases*}
u_0=3\\
u_{n+1}=\frac{2}{3}u_n+2 & pour tout $n\in\N$ 
\end{dcases*} \]

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$. Montrer que $(u_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.

\begin{corr}
$u_1=\dfrac{2}{3}u_0+2=\dfrac{2}{3}\times3+2= \boxed{4}$
\quad et \quad
$u_2=\dfrac{2}{3}u_1+2=\dfrac{2}{3}\times4+2=\dfrac{8}{3}+2=\boxed{\dfrac{14}{3}}$

$u_2-u_1=\dfrac{14}{3}-4=\dfrac{2}{3}$
\quad et \quad
$u_1-u_0=4-3=1$ donc \fbox{$(u_n)$ n'est pas arithmétique.}

$\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{\frac{14}{3}}{4}=\dfrac{7}{6}$
\quad et \quad
$\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{4}{3}$ donc \fbox{$(u_n)$ n'est pas géométrique.}
\end{corr}

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose :
\[  v_n=u_n-6 \]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

\begin{corr}
Pour tout $n\in\N$ :

$v_{n+1}=u_{n+1}-6=\dfrac{2}{3}u_n+2-6=\dfrac{2}{3}(v_n+6)+2-6=\dfrac{2}{3}v_n+4+2-6=\dfrac{2}{3}v_n$.

\fbox{La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q=\dfrac{2}{3}$ et de premier terme $v_0=u_0-6=-3$}
\end{corr}

\item En déduire, pour tout $n\in\N$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.

\begin{corr}
$(v_n)$ est une suite géométrique donc :

Pour tout $n\in\N$, $v_n=v_0\times q^n=\boxed{-3\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n}$
\end{corr}

\item En déduire, pour tout $n\in\N$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\begin{corr}
Pour tout $n\in\N$, $u_n=v_n+6=\boxed{-3\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+6}$
\end{corr}

\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Donner, en justifiant, la valeur de $\ds\limn v_n$.

\begin{corr}
On sait que $-1<\dfrac{2}{3}<1$ donc $\ds\limn \left(\dfrac{2}{3}\right)^n=0$.

On en déduit que $\ds\limn -3\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n=0$ et donc \fbox{$\ds\limn v_n=0$}
\end{corr}

\item En déduire $\ds\limn u_n$.

\begin{corr}
Pour tout $n\in\N$, $u_n=v_n+6$ donc \fbox{$\ds\limn u_n=6$}
\end{corr}
\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose :
\[ T_n=v_0+v_1+\dots +v_n\qquad \text{et}\qquad S_n=u_0+u_1+\dots +u_n\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :
\[ T_n=-9\times\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\right) \]

\begin{corr}
$(v_n)$ est une suite géométrique donc :

Pour tout $n\in\N$ :

$\begin{aligned}
T_n&=v_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=-3\times\dfrac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{2}{3}}=-3\times\dfrac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}}{\frac{1}{3}}\\
&=\boxed{-9\times\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\right)}
\end{aligned}$
\end{corr}
\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.

\begin{corr}
Pour tout $n\in\N$ :

$\begin{aligned}
 S_n&=u_0+u_1+\dots +u_n=v_0+6+v_1+6+\dots +v_n+6=T_n+(n+1)\times6\\
 &=\boxed{-9\times\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\right)+6(n+1)}
\end{aligned}$
\end{corr}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\end{document}