\documentclass[10pt,twoside]{article}


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              pdftitle={Devoir de première sur les suites},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}


\begin{document}
 \titre{Suites}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Corr}{6}
 \duree{1 heure}
 \date{14 janvier 2016}

\begin{empfile}

 \begin{empcmds}
    input latexmp;
    input repere;
    
 \end{empcmds}

\affichetitre

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 \belowdisplayskip=0.5ex




\begin{exercice}
\begin{enumerate}[itemsep=3ex]
\item La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique donc $u_9=u_3+(9-3)\times r$.

$u_9=u_3+(9-3)\times r \Leftrightarrow 17=8+6r \Leftrightarrow 6r=9 \Leftrightarrow \boxed{r=\frac{3}{2}}$

La même formule appliquée à $u_0$ et $u_3$ donne : $u_0=u_3+(0-3)\times r=8-3\times\dfrac{3}{2}\quad\boxed{= \frac{7}{2}}$
\item On déduit de ce qui précède :
Pour tout $n\in\N$, \fbox{$u_n=\dfrac{7}{2}+\dfrac{3}{2}n$}
\item La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique donc :

$S=u_0+u_1+u_2+\dots u_{20}=(20+1)\times\dfrac{u_0+u_{20}}{2}=21\times\dfrac{\frac{7}{2}+\frac{7}{2}+\frac{3}{2}\times20}{2}=21\times\dfrac{7+30}{2}\quad \boxed{=\dfrac{777}{2}}$
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}

\begin{enumerate}[itemsep=3ex]
\item On utilise la droite d'équation $y=x$ et on obtient :
\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
repere.larg(-0.5,6,12cm,-0.5,3.5,8cm);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
vardef f(expr x)=-0.1*(x**2)+x enddef;
path C,sr;
C=courbefonc(f)();
sr=suiterec(f,0,4,5);
draw C epaisseur 1;
draw droite(1,0) couleur bleu epaisseur 1;
drawoptions(epaisseur 1 withcolor rouge);
draw suiterecprojx.bot("v") dashed evenly;
draw sr;
fin;
\end{emp}
\end{center}

\item La suite $v$ semble être décroissante et sa limite semble être $0$.

\item Pour tout entier naturel $n$ :
$v_{n+1}-v_{n}=-0,1v_n^2 < 0$. \fbox{La suite $v$ est donc décroissante}.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}

\begin{enumerate}[itemsep=3ex]
\item $u_1=\dfrac{1}{4}u_0+3=\dfrac{1}{4}\times(-6)+3=-\dfrac{3}{2}+3\quad \boxed{=\dfrac{3}{2}}$

$u_2=\dfrac{1}{4}u_1+3=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{2}+3=\dfrac{3}{8}+3\quad \boxed{=\dfrac{27}{8}}$
\item 
\begin{enumerate}[itemsep=2ex]
\item Pour tout $n\in\N$ :

$v_{n+1}=u_{n+1}-4=\dfrac{1}{4}u_n+3-4=\dfrac{1}{4}(v_n+4)+3-4=\dfrac{1}{4}v_n+1+3-4=\dfrac{1}{4}v_n$.

\fbox{La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q=\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $v_0=u_0-4=-10$}

\item On peut donc écrire : \fbox{Pour tout $n\in\N$, $v_n=v_0\times q^n=-10\times\left(\dfrac{1}{4}\right)^n$}
\end{enumerate}
\item La question précédente nous permet d'écrire : \fbox{Pour tout $n\in\N$, $u_n=v_n+4=-10\times\left(\dfrac{1}{4}\right)^n+4$}

\item On sait que $-1<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\ds\limn \left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$.

On en déduit que $\ds\limn -10\times\left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$ puis que $\ds\limn -10\times\left(\dfrac{1}{4}\right)^n+4=4$

On ainsi établi que : \fbox{$\ds\limn u_n=4$}

\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
On admet que, pour tout $n$, $w_n>0$

\begin{enumerate}[itemsep=3ex]
\item $w_1=\dfrac{2w_0}{0+3}=\dfrac{2\times 3}{3}\quad \boxed{=2}$\quad et $w_2=\dfrac{2w_1}{1+3}=\dfrac{2\times 2}{4} \quad \boxed{= 1}$.
\item On sait que pour tout $n$, $w_n>0$, on peut donc étudier les variations de $(w_n)$ en comparant $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}$ à 1.

Pour tout $n\in\N$, $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}=\dfrac{\frac{2w_n}{n+3}}{w_n}=\dfrac{2}{n+3}$.

$n$ étant un entier naturel, $n+3>2$ donc $\dfrac{2}{n+3}<1$. On en déduit que pour tout $n\in\N$, $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}<1$.

Conclusion : \fbox{$(w_n)$ est strictement décroissante}
\item D'après la question précédente, on sait que pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}=\dfrac{2}{n+3}$.

$n$ étant un entier naturel, $n+3\geqslant 3$ donc $\dfrac{1}{n+3} \leqslant \dfrac{1}{3}$ et donc $\dfrac{2}{n+3} \leqslant \dfrac{2}{3}$.

On en déduit : \fbox{Pour tout $n\in\N$, $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}\leqslant \dfrac{2}{3}$}

\item Pour tout $n$,  $\dfrac{w_n}{w_0}=\dfrac{w_n}{w_{n-1}}\times\dfrac{w_{n-1}}{w_{n-2}}\times\dots \times\dfrac{w_1}{w_0}$.

Chacun de ces quotient est, d'après la question précédente, inférieur ou égal à $\dfrac{2}{3}$.

On a donc : $\dfrac{w_n}{w_0} \leqslant \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dots \times \dfrac{2}{3}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$

 Conclusion : \fbox{Pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{w_n}{w_0}\leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$}
\item D'après ce qui précède, on sait que pour tout $n \in\N$, $0<\dfrac{w_n}{w_0}\leqslant\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ donc $0<w_n\leqslant 3\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ (car $w_0=3$)

On sait que $-1<\dfrac{2}{3}<1$ donc $\ds\limn \left(\dfrac{2}{3}\right)^n=0$ et donc $\ds\limn 3\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n=0$.

$w_n$ est donc compris entre $0$ et une suite qui tend vers $0$. On peut donc conjecturer que \fbox{$\ds\limn w_n=0$}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}

