\documentclass[10pt,twoside]{article}


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              pdftitle={Devoir de première sur les suites},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}


\begin{document}
 \titre{Suites}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Devoir}{6}
 \duree{1 heure}
 \date{14 janvier 2016}

\begin{empfile}

 \begin{empcmds}
    input latexmp;
    input repere;
    
 \end{empcmds}

\affichetitre

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\begin{exercice}[4 points]
Soit $\suite$ une suite arithmétique de raison $r$ telle que $u_3=8$ et $u_9=17$
\begin{enumerate}
\item Calculer $r$ et $u_0$.
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer $S=u_0+u_1+u_2+\dots u_{20}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[4 points]
Soit $\suite[v]$ la suite définie par :
\[ \begin{dcases*}
v_0=5 \\
v_{n+1}=-0,1v_n^2+v_n & pour tout $n\in\N$
\end{dcases*} \]

\begin{enumerate}
\item Sur la figure ci-dessous, on donne la représentation graphique de la fonction $f$ définie par $f(x)=-0,1x^2+x$.

Représenter, sur l'axe des abscisses, les 5 premiers termes de la suite.

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
repere.larg(-0.5,6,12cm,-0.5,3.5,8cm);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
vardef f(expr x)=-0.1*(x**2)+x enddef;
path C;
C=courbefonc(f,-1,6,60);
draw C epaisseur 1;
fin;
\end{emp}
\end{center}

\item Quel semble être le sens de variation de $v$ ? Quelle semble être la limite de $v$ ?

\item Déterminer par un calcul le sens de variation de $v$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[6 points]
Soit $\suite$ la suite définie par :
\[ \begin{dcases*}
u_0=-6 \\
u_{n+1}=\frac{1}{4}u_n+3 & pour tout $n\in\N$
\end{dcases*} \]

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Soit $\suite[v]$ la suite définie par $v_n=u_n-4$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $v$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item Déduire de ce qui précède l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer, en justifiant, la limite de la suite $u$.
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[6 points]
Soit $\suite[w]$ la suite définie par :
\[ \begin{dcases*}
w_0=3 \\
w_{n+1}=\frac{2w_n}{n+3} & pour tout $n\in\N$
\end{dcases*} \]

On admet que, pour tout $n$, $w_n>0$

\begin{enumerate}
\item Calculer $w_1$ et $w_2$.
\item Étudier les variations de la suite $w$.
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}\leqslant \dfrac{2}{3}$
\item En remarquant que $\dfrac{w_n}{w_0}=\dfrac{w_n}{w_{n-1}}\times\dfrac{w_{n-1}}{w_{n-2}}\times\dots \times\dfrac{w_1}{w_0}$, démontrer que pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{w_n}{w_0}\leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$
\item Faire une conjecture sur la limite de la suite $w$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}

