\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

\usepackage{PresentationArticle-lua}   %Paquet perso
\usepackage{Commandes-lua}      %Paquet perso

\usepackage{fontspec}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage{lualatex-math}
\setmainfont{STIX Two Text}
\setmathfont{STIX Two Math}

\usepackage{graphicx}

\usepackage{luamplib}

\usepackage{environ}
  
  \usepackage[output-decimal-marker={,}]{siunitx}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage{babel}
     \frenchbsetup{SuppressWarning,CompactItemize=false}
     \DecimalMathComma

  \usepackage[%
              unicode,%
              pdftitle={Contrôle de première S sur le second degré},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}
              
              
\newboolean{solution}

\NewEnviron{corrige}{\ifthenelse{\boolean{solution}}
                                {\par\medskip\color{blue}\BODY
                                \par\medskip}
                                {}
                    }


%\setboolean{solution}{true}

\begin{document}
 \titre{Second degré}
 \classe{\prems}
 \typedoc{DS}{2}
 \duree{1 heure}
 \date{28 septembre 2018}
 
\affichetitre

{\Large\bfseries Nom :}

\bigskip

\begin{exercice}[8 points]
Résoudre les équations et l'inéquation ci-dessous :

\qquad$(E_1) : 7x^4+11x^2-6=0 $ \qquad  \qquad $(E_2): \sqrt{3x^2+13x+7}=\sqrt{x^2-8}$ \qquad  \qquad $(I): \dfrac{(x-6)^2}{2x-3} \geqslant x$


\begin{corrige}
$(E_{1}) \Leftrightarrow \sysd{&X=x^{2}}{&7X^{2}+11X-6=0}$

Après calculs (discriminant, etc.), on obtient les solutions de $7X^{2}+11X-6=0$ : $-2$ et $\dfrac{3}{7}$.

Ainsi :
$(E_{1}) \Leftrightarrow \sysd{&X=x^{2}}{&X=-2 \text{ ou } X=\dfrac{3}{7}}  \Leftrightarrow  x^{2}=-2 \text{ ou } x^{2}=\dfrac{3}{7}  \Leftrightarrow  x=-\sqrt{\dfrac{3}{7}}=-\dfrac{\sqrt{21}}{7} \text{ ou } x=\sqrt{\dfrac{3}{7}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$

On a donc : \fbox{$\cals_{1}=\left\lbrace-\dfrac{\sqrt{21}}{7} ;\dfrac{\sqrt{21}}{7}\right\rbrace $}

\bigskip
\bigskip


$(E_{2})\Leftrightarrow \sysd{&3x^2+13x+7=x^2-8}{&x^2-8\geqslant 0}\Leftrightarrow \sysd{&2x^2+13x+15=0}{&x^2-8\geqslant 0} \Leftrightarrow \ldots \text{ Calcul de }\Delta\text{ etc. } \ldots \sysd{&x=-\frac{3}{2}\text{ ou }x=-5}{&x^2-8\geqslant 0}$
\qquad
Seule la solution $-5$ satisfait l'inéquation.

On a donc \fbox{$\cals_{2}=\left\lbrace -5\right\rbrace $}

\bigskip
\bigskip

$(I)\Leftrightarrow \dfrac{x^2-12x+36}{2x-3}-x \geqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{x^2-12x+36-x(2x-3)}{2x-3}\geqslant0 \Leftrightarrow \dfrac{x^2-12x+36-2x^2+3x}{2x-3}\geqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{-x^2-9x+36}{2x-3}\geqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{g(x)}\geqslant0$ avec $\sysd{&f(x)=-x^2-9x+36}{&g(x)=2x-3}$

Il suffit donc d'étudier le signe de $f$ et $g$.

\begin{itemize}
\item D'une part $g$ est une fonction affine de coefficient directeur positif et qui s'annule en $\frac{3}{2}$.

\item D'autre part $f$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est négatif et qui s'annule (calculs à faire...) en $-12$
et $3$
\end{itemize}

On peut donc construire le tableau :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=3,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe\\
de $f(x)$ /1.2,
Signe\\
de $g(x)$ /1.2,
Signe\\
de $\frac{f(x)}{g(x)}$ /1.2
}
{$-\infty$,$-12$,$\frac{3}{2}$,$3$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,-,z,+,t,+,z,-, }
\tkzTabLine{ ,-,t,-,z,+,t,+, }
\tkzTabLine{ ,+,z,-,d,+,z,-, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Conclusion : \fbox{$\cals=\intervalleOF{-\infty}{-12} \cup \intervalleOF{\frac{3}{2}}{3}$}



\end{corrige}


\end{exercice}

\begin{exercice}[6 points]
Soit $P$ le polynôme du second degré défini par : \[ P(x)=2x^3-x^2-2x+1 \]
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $1$ est une racine de $P$.

\begin{corrige}
$P(1)=2\times1^3-1^2-2\times1+1=2-1-2+1=0$. Donc $1$ est une racine de $P$.
\end{corrige}

\item Pour tous réels $a$, $b$ et $c$ et tout réel $x$, développer $(x-1)(ax^2+bx+c)$.

\begin{corrige}
Pour tous $a$, $b$ et $c$ et tout $x$,

$(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$
\end{corrige}

\item Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout réel $x$, $ P(x)= (x-1)(ax^2+bx+c)$

\begin{corrige}
Pour tout $x$, $ P(x)= (x-1)(ax^2+bx+c) \Leftrightarrow \text{ Pour tout $x$, } 2x^3-x^2-2x+1=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$
$\Leftrightarrow \sysq{a&=2}{b-a&=-1}{c-b&=-2}{-c&=1}\Leftrightarrow \sysq{a&=2}{b-2&=-1}{-1-b&=-2}{c&=-1}\Leftrightarrow \syst{a&=2}{b&=1}{c&=-1}$

Conclusion : Pour tout réel $x$, \fbox{$P(x)=(x-1)(2x^2+x-1)$}
\end{corrige}

\item Résoudre l'inéquation $ (I):P(x)\leqslant 0 $

\begin{corrige}
$(I) \Leftrightarrow f(x)\times g(x) \leqslant 0$ avec $\sysd{&f(x)=2x^2+x-1}{&g(x)=x-1}$

Il suffit donc d'étudier le signe de $f$ et $g$.

\begin{itemize}
\item D'une part $g$ est une fonction affine de coefficient directeur positif et qui s'annule en $1$.

\item D'autre part $f$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est positif et qui s'annule (calculs à faire...) en $-1$ et $\frac{1}{2}$.
\end{itemize}

On peut donc construire le tableau :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=3,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe\\
de $f(x)$ /1.2,
Signe\\
de $g(x)$ /1.2,
Signe\\
de $f(x)\times g(x)$ /1.2
}
{$-\infty$,$-1$,$\frac{1}{2}$,$1$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+,t,+, }
\tkzTabLine{ ,-,t,-,t,-,z,+, }
\tkzTabLine{ ,-,z,+,z,-,z,+, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Conclusion : \fbox{$\cals=\intervalleOF{-\infty}{-1} \cup \intervalleFF{\frac{1}{2}}{1}$}

\end{corrige}

\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[3 points]
Étant donnés deux réels $p$ et $q$, on définit le polynôme du second degré $R$ par : \[ R(x)=2x^2+px+q \]
\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs de $p$ et $q$ pour que les racines de $R$ soient $-\frac{1}{2}$ et $3$.

\begin{corrige}
$-\dfrac{1}{2}$ et $3$ sont les racines de $R$ donc, pour tout réel $x$, $R(x)=2\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-3)$

En développant l'expression obtenue, on a : $R(x)=(2x+1)(x-3)=2x^2-6x+x-3=2x^2-5x-3$

Par identification des coefficients, on a : \fbox{$p=-5$ et $q=-3$}
\end{corrige}

\item Avec les valeurs trouvées précédemment, donner la forme canonique de $R$.

\begin{corrige}
Pour tout réel $x$, $R(x)=2(x-\alpha)^2+\beta$

avec $\alpha=-\frac{-5}{2\times2}=\frac{5}{4}$ \qquad et \qquad $\beta=R(\alpha)=R\left(\frac{5}{4}\right)= 2\times \left(\frac{5}{4}\right)^2-5\times\frac{5}{4}-3=-\frac{49}{8}$

Conclusion : Pour tout réel $x$, \fbox{$R(x)=2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2-\frac{49}{8}$}
\end{corrige}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[3 points]
Un père a 25 ans de plus que son fils. Le produit de leurs âges est $224$.

Quel est l'âge de chacun ?


\begin{corrige}
\begin{enumerate}
\item Choix de l'inconnue :

Soit $x$ l'âge de l'enfant.

\item Mise en équation :

L'âge du père est donc $x+25$. Le produit des âges est $224$ donc $x(x+25)=224 \quad(E)$

\item Résolution :

$(E) \Leftrightarrow x^2+25x=224 \Leftrightarrow x^2+25x-224$

Cette équation est une équation du second degré qui (après calculs...) admet deux solutions : $7$ et $-32$.

\item Conclusion :

Seule la solution positive convient donc \fbox{le fils a 7 ans et son père 32 ans.}
\end{enumerate}

\end{corrige}

\end{exercice}

\end{document}