\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

\usepackage{PresentationArticle-lua}   %Paquet perso
\usepackage{Commandes-lua}      %Paquet perso

\usepackage{fontspec}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage{lualatex-math}
\setmainfont{STIX Two Text}
\setmathfont{STIX Two Math}

\usepackage{graphicx}

\usepackage{luamplib}
\everymplib{verbatimtex \leavevmode etex;
            input repere;}
  
  \usepackage[output-decimal-marker={,}]{siunitx}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage{babel}
     \frenchbsetup{SuppressWarning,CompactItemize=false}
     \DecimalMathComma

  \usepackage[%
              unicode,%
              pdftitle={Devoir de première S sur le second degré},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}


\begin{document}
 \titre{Second degré}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Corr}{2}
 \date{29 septembre 2017}
 \duree{1 heure}
 
\affichetitre

Quelques pistes pour la correction...

\bigskip

\begin{exercice}
$P$ est défini par : \[P(x)=-21x^2-11x+2\]
\begin{enumerate}
\item Racines de $P$ : $\Delta = 289$. Les racines sont $-\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{1}{7}$.

Factorisation : $P(x)=-21\left(x+\dfrac{2}{3}\right)\left(x-\dfrac{1}{7}\right)$

Signe de $P(x)$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2,
            lgt=1.7,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe\\
de $P(x)$ /1
}
{$-\infty$,$-\frac{2}{3}$,$\frac{1}{7}$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,-,z,+,z,-, }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Forme canonique de $P(x)$ :

Le maximum est obtenu pour $x=-\dfrac{-11}{2\times (-21)}=-\dfrac{11}{42}$ et $P\left(-\dfrac{11}{42}\right)=\dots=\dfrac{289}{84}$

On a donc : $P(x)=-21\left(x+\dfrac{11}{42}\right)^2+\dfrac{289}{84}$

Variations de $P$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=3,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Variations\\
de $P$ /1.7
}
{$-\infty$,$-\frac{11}{42}$,$+\infty$}

\tkzTabVar{-/,+/$\frac{289}{84}$,-/ }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La représentation graphique de $P$ doit ressembler à une parabole, couper l'axe des abscisses en $-\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{1}{7}$, l'axe des ordonnées en $2$, doit admettre un maximum égal à $\frac{289}{84}$ atteint en $x=-\frac{11}{42}$...
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}
$(E_1):-2x^3+5x^2+3x=0$

$(E_1)\Leftrightarrow x(-2 x^2+5 x+3)=0\Leftrightarrow 
\left\lvert\begin{aligned}
&x=0\\
&\text{ou}\\
&-2 x^2+5 x+3=0
\end{aligned}\right.
\Leftrightarrow \ldots \text{ Calcul de }\Delta\text{ etc. } \ldots\Leftrightarrow
\left\lvert\begin{aligned}
&x=0\\
&\text{ou}\\
&x=-\frac{1}{2}\text{ ou }x=3
\end{aligned}\right.
$

Ainsi : \fbox{$\cals_1=\left\{0;-\frac{1}{2};3\right\}$}

\bigskip
\bigskip

$(E_2):\sqrt{-8x+24}=3-2x$

$(E_{2})\Leftrightarrow \sysd{&-8x+24=(3-2x)^{2}}{&3-2x\geqslant 0}\Leftrightarrow \sysd{&-8x+24=9-12x+4x^2}{&3-2x\geqslant 0} \Leftrightarrow \sysd{&4x^{2}-4x-15=0}{&3-2x\geqslant 0}$

$\Leftrightarrow \ldots \text{ Calcul de }\Delta\text{ etc. } \ldots \sysd{&x=-\frac{3}{2}\text{ ou }x=\frac{5}{2}}{&3-2x\geqslant 0}$
\qquad
Seule la solution $-\frac{3}{2}$ satisfait l'inéquation.

On a donc \fbox{$\cals_{2}=\left\lbrace -\frac{3}{2}\right\rbrace $}


\bigskip
\bigskip

 $(I):x+2 \leqslant \dfrac{6}{x-3}$

$(I)\Leftrightarrow x+2 - \dfrac{6}{x-3} \leqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{(x+2)(x-3)-6}{x-3}\leqslant0 \Leftrightarrow \dfrac{x^2-x-12}{x-3}\leqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{g(x)}\leqslant0$ avec $\sysd{&f(x)=x^2-x-12}{&g(x)=x-3}$

Il suffit donc d'étudier le signe de $f$ et $g$.

\begin{itemize}
\item D'une part $g$ est une fonction affine de coefficient directeur positif et qui s'annule en $3$.

\item D'autre part $f$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est positif et qui s'annule (calculs à faire...) en $-3$
et $4$
\end{itemize}

On peut donc construire le tableau :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2,
            lgt=3,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe\\
de $f(x)$ /1,
Signe\\
de $g(x)$ /1,
Signe\\
de $\frac{f(x)}{g(x)}$ /1
}
{$-\infty$,$-3$,$3$,$4$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,+,z,-,t,-,z,+, }
\tkzTabLine{ ,-,t,-,z,+,t,+, }
\tkzTabLine{ ,-,z,+,d,-,z,+, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Conclusion : \fbox{$\cals=\intervalleOF{-\infty}{-3} \cup \intervalleOF{3}{4}$}


\end{exercice}

\begin{exercice}
$f$ est définie par $f(x)=x^4-6x^2+5$.
\begin{enumerate}[itemsep=12pt]
\item $g$ est définie par $g(t)=t^2-6t+5$. En calculant le discriminant de $g$, on peut obtenir ses racines qui sont $1$ et $5$. On en déduit donc :

\fbox{Pour tout réel $t$, $g(t)=(t-1)(t-5)$.}
\item Pour tout réel $x$, $f(x)=x^4-6x^2+5=(x^2)^2-6x^2+5=g(x^2)$. On en déduit donc :

\fbox{Pour tout réel $x$, $f(x)=(x^2-1)(x^2-5)$.}

\item  $(I):f(x)\leqslant 0 \Leftrightarrow f(x)\times g(x) \leqslant 0$ avec $f(x)=x^2-1$ et $g(x)=x^2-5$.

$f$ et $g$ sont deux polynômes du second degré dont les coefficients de $x^2$ sont positifs et qui s'annulent en $-1$ et $1$ pour $f$ et en $-\sqrt{5}$ et $\sqrt{5}$ pour $g$.

On peut donc construire le tableau de signes ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2,
            lgt=3,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe\\
de $f(x)$ /1,
Signe\\
de $g(x)$ /1,
Signe\\
de $f(x)\times g(x)$ /1
}
{$-\infty$,$-\sqrt{5}$,$-1$,$1$,$\sqrt{5}$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,+,t,+,z,-,z,+,t,+, }
\tkzTabLine{ ,+,z,-,t,-,t,-,z,+, }
\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+,z,-,z,+, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Conclusion : \fbox{$\cals=\intervalleFF{-\sqrt{5}}{-1} \cup \intervalleFF{1}{\sqrt{5}}$}


\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
$m$ est un réel quelconque et $f_m$ est définie par : $f_m(x)=x^2-mx+m-2$
\begin{enumerate}[itemsep=12pt]
\item $f_m(1)=1^2-m\times 1+m-2=-1 \neq 0$. \fbox{Le nombre $1$ n'est donc jamais une racine de $f_m$.}
\item $\Delta_m=(-m)^2-4\times1\times(m-2)=\boxed{m^2-4m+8}$.

$\Delta_m$ est donc un polynôme du second degré en $m$ dont le discriminant est $(-4)^2-4\times 8=-16<0$.

$\Delta_m$ ne s'annule donc jamais et est donc toujours du signe du coefficient de $m²$ donc \fbox{positif}.
\item Quel que soit $m$, $\Delta_m>0$. On peut donc en déduire que la fonction \fbox{$f_m$ a toujours deux racines.}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
La représentation graphique de $f$ est donnée ci-dessous :

\begin{center}
\begin{mplibcode}
u:=0.5cm;
repere(-2,9,u,-4,6,u);
defaultscale:=0.8;
 draw quadrillage(1,1);
 draw axes(1,1);
 vardef f(expr x)=(2/7)*(x**2)-20x/7+4 enddef;
 path C_f;
 C_f:=courbefonc(f)();
 drawoptions(couleur bleu);
 draw C_f epaisseur 1;
 nomme(C_f);
 marquepointcourbe(C_f,0,3);
 draw droite(5) dashed evenly;
 drawoptions();
 draw cadre;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}

On peut \emph{par exemple} chercher $f$ sous la forme : $f(x)=ax²+bx+c$.

\begin{itemize}
\item La courbe coupe l'axe des ordonnées au point $\couple{0}{4}$. On en déduit $c=4$.
\item L'axe de symétrie de la courbe est la droite d'équation $x=5$. On en déduit $-\frac{b}{2a}=5$ donc $b=-10a$.

On peut donc dire que $f(x)=ax²-10ax+4$

\item La courbe passe par le point de coordonnées $\couple{3}{-2}$ donc $f(3)=-2$.

$f(3)=-2\Leftrightarrow a\times3^2-10\times a\times3+4=-2\Leftrightarrow -21a=-6\Leftrightarrow a=\frac{2}{7}$
\end{itemize}

Conclusion : \fbox{Pour tout $x$, $f(x)=\frac{2}{7}x²-\frac{20}{7}x+4$}
\end{exercice}






\end{document}