\documentclass[11pt,twoside]{article}


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  \usepackage{Commandes}      %Paquet perso
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     \DecimalMathComma

  \usepackage[%
              pdftitle={Devoir de première sur le second degré},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}


\begin{document}
 \titre{Repérage}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Corr}{2}
 \duree{1 heure}
 \date{1\ier{} octobre 2015}

\begin{empfile}

 \begin{empcmds}
    input latexmp;
    input repere;
    
 \end{empcmds}

\affichetitre

 \abovedisplayskip=0.5ex
 \belowdisplayskip=0.5ex


Ci-dessous quelques pistes pour la correction. Attention, tous les calculs ne sont pas faits. Les résolutions des équations du second degré, en particulier, sont laissées au soin du lecteur...

\bigskip

\begin{exercice}
\[P(x)=-36x^2+108x-17\]

\begin{enumerate}
\item Racines de $P$ : $\Delta = 9216 $. Les racines sont $\dfrac{1}{6}$ et $\dfrac{17}{6}$.
\item Factorisation : $P(x)=-36\left(x-\dfrac{1}{6}\right)\left(x-\dfrac{17}{6}\right)$
\item Signe de $P(x)$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2,
            lgt=1.7,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe\\
de $f(x)$ /1
}
{$-\infty$,$\frac{1}{6}$,$\frac{17}{6}$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,-,z,+,z,-, }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Forme canonique de $P(x)$ : Le maximum est obtenu pour $x=\dfrac{-108}{2\times(-36)}=\dfrac{3}{2}$ et $f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dots=64$

On a donc : $f(x)=-36\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+64$
\item Variations de $P$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=3,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Variations\\
de $f$ /1.7
}
{$-\infty$,$\frac{3}{2}$,$+\infty$}

\tkzTabVar{-/,+/$64$,-/ }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La représentation graphique de $P$ doit ressembler à une parabole, couper l'axe des abscisses en $\dfrac{1}{6}$ et $\dfrac{17}{6}$, l'axe des ordonnées en $-17$, doit admettre un maximum égal à $64$ atteint en $x=\dfrac{3}{2}$...
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
$(E_1):7x^4+11x^2-6=0$

$(E_{1}) \Leftrightarrow \sysd{&X=x^{2}}{&7X^{2}+11X-6=0}$

Après calculs, on obtient les solutions de $7X^{2}+11X-6=0$ : $-2$ et $\dfrac{3}{7}$.

Ainsi :
$(E_{1}) \Leftrightarrow \sysd{&X=x^{2}}{&X=-2 \text{ ou } X=\dfrac{3}{7}} \quad \Leftrightarrow \quad x^{2}=-2 \text{ ou } x^{2}=\dfrac{3}{7} \quad \Leftrightarrow \quad x=-\sqrt{\dfrac{3}{7}} \text{ ou } x=\sqrt{\dfrac{3}{7}}$

On a donc : \fbox{$\cals_{1}=\left\lbrace -\sqrt{\dfrac{3}{7}};\sqrt{\dfrac{3}{7}}\right\rbrace $}

\bigskip
\bigskip
\newpage
$(E_2):-7 x^3+22 x^2-3 x=0$

$(E_2)\Leftrightarrow x(-7 x^2+22 x-3)=0\Leftrightarrow 
\left\lvert\begin{aligned}
&x=0\\
&\text{ou}\\
&-7 x^2+22 x-3=0
\end{aligned}\right.
\Leftrightarrow \ldots \text{ Calcul de }\Delta\text{ etc. } \ldots\Leftrightarrow
\left\lvert\begin{aligned}
&x=0\\
&\text{ou}\\
&x=3\text{ ou }x=\dfrac{1}{7}
\end{aligned}\right.
$

Ainsi : \fbox{$\cals_2=\left\{0;3;\dfrac{1}{7}\right\}$}
\bigskip
\bigskip

$(E_3):\sqrt{-4x+5}=-2x-1$

$(E_{3})\Leftrightarrow \sysd{&-4x+5=(-2x-1)^{2}}{&-2x-1\geqslant 0}\Leftrightarrow \sysd{&-4x+5=4x^{2}+4x+1}{&-2x-1\geqslant 0} \Leftrightarrow \sysd{&4x^{2}+8x-4=0}{&-2x-1\geqslant 0}\Leftrightarrow \ldots \text{ Calcul de }\Delta\text{ etc. } \ldots$

$\Leftrightarrow \sysd{&x=-1+\sqrt{2}\text{ ou }x=-1-\sqrt{2}}{&-2x-1\geqslant 0}$

Seule la solution $-1-\sqrt{2}$ satisfait l'inéquation.

On a donc \fbox{$\cals_{3}=\left\lbrace -1-\sqrt{2}\right\rbrace $}
\end{exercice}

\begin{exercice}
 $(I_1):(-2x+1)(2x^2-7x+5)<0$
 

$(I_1) \Leftrightarrow f(x)\times g(x)< 0$
avec $f(x)=-2x+1$ et $g(x)=2x^2-7x+5$.

Il suffit donc d'étudier le signe de $f$ et $g$.

\begin{itemize}
\item D'une part $f$ est une fonction affine de coefficient directeur négatif et qui s'annule en $\dfrac{1}{2}$.

\item D'autre part $g$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est positif.

$\Delta=\dots=9$

$\Delta>0$ donc $g$ admet les deux racines $\alpha_1$ et $\alpha_2$ suivantes :

\begin{itemize*}[label=\textbullet,itemjoin=\qquad]
\item $\alpha_1=\dfrac{7+\sqrt{9}}{2 \times 2}=\dfrac{5}{2}$
\item $\alpha_2=\dfrac{7-\sqrt{9}}{2 \times 2}=1$
\end{itemize*}
\end{itemize}


Tout ceci permet de dresser le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2,
            lgt=3,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe\\
de $f(x)$ /1,
Signe\\
de $g(x)$ /1,
Signe\\
de $f(x)\times g(x)$ /1
}
{$-\infty$,$\frac{1}{2}$,$1$,$\frac{5}{2}$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,+,z,-,t,-,t,-, }
\tkzTabLine{ ,+,t,+,z,-,z,+, }
\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+,z,-, }
\end{tikzpicture}
\end{center}

Conclusion : \fbox{$\cals_1=\intervalleOO{\dfrac{1}{2}}{1} \cup \intervalleOO{\dfrac{5}{2}}{+\infty}$}


\bigskip
\bigskip 
 
 
 
 $(I_2):\dfrac{x^{2}-4x-2}{-2x+1}\leqslant 1$
 
 $(I_2) \Leftrightarrow \dfrac{x^{2}-4x-2}{-2x+1}-1\leqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{x^{2}-4x-2}{-2x+1}-\dfrac{-2x+1}{-2x+1} \leqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{x^2-2x-3}{-2x+1} \leqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{g(x)}$ avec $\sysd{&f(x)=x^2-2x-3}{&g(x)=-2x+1}$
 
 On procède donc comme dans l'inéquation précédente :
 
\begin{itemize}
\item D'une part $g$ est une fonction affine de coefficient directeur négatif et qui s'annule en $\dfrac{1}{2}$.

\item D'autre part $f$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est positif et qui s'annule (calculs à faire) en $-1$
et $3$
\end{itemize}

On peut donc construire le tableau :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2,
            lgt=3,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.8,
Signe\\
de $f(x)$ /1,
Signe\\
de $g(x)$ /1,
Signe\\
de $\frac{f(x)}{g(x)}$ /1
}
{$-\infty$,$-1$,$\frac{1}{2}$,$3$,$+\infty$}

\tkzTabLine{ ,+,z,-,t,-,z,+, }
\tkzTabLine{ ,+,t,+,z,-,t,-, }
\tkzTabLine{ ,+,z,-,d,+,z,-, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Conclusion : \fbox{$\cals_2=\intervalleFO{-1}{\dfrac{1}{2}} \cup \intervalleFO{3}{+\infty}$}

\end{exercice}


\begin{exercice}
\begin{itemize}[label=\textbullet,itemsep=20pt]
\item
$f$ est un polynôme du second degré. L'expression de $f$ en fonction de $x$ est donc, en utilisant la forme canonique : $f(x)=a\left(x-\alpha\right)^{2}+\beta$.

\begin{itemize}[leftmargin=*]
\item Par lecture graphique, on voit que le sommet de la parabole a pour coordonnées $\couple{3}{4}$.

On en déduit : $\alpha=3$ et $\beta=4$.

Ainsi $f(x)=a\left(x-3\right)^{2}+4$

\item Par lecture graphique, on a aussi $f(1)=2$.

On en déduit : $a\left(1-3\right)^{2}+4=2$ soit $4a+4=2$ donc $4a=-2$ et donc $a=-\dfrac{1}{2}$.

\medskip
Conclusion : \fbox{$f(x)=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2+4$}
\end{itemize}

\item La parabole représentant $g$ coupe deux fois l'axe des abscisses donc $g$ admet deux racines. L'expression de $g$ en fonction de $x$ est donc de la forme $g(x)=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)$.

\begin{itemize}[leftmargin=*]
\item La parabole coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-1$ et $-4$ donc les racines de $g$ sont $-1$ et $-4$.

Ainsi $g(x)=a(x+1)(x+4)$

\item Le point de coordonnées $\couple{0}{4}$ appartient à la parabole donc $g(0)=4$.

On en déduit : $a(0+1)(0+4)=4$ soit $a \times 1 \times 4=4$ donc $4a=4$ et donc $a=1$.
\end{itemize}

\medskip
Conclusion : \fbox{$g(x)=(x+1)(x+4)$}

\end{itemize}

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
repere.orth(-6,7,10cm,-4,5);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
path C_f,C_g;
vardef f(expr x)=-0.5*((x-3)**2)+4 enddef;
C_f:=courbefonc(f,-6,7,50);
draw C_f epaisseur 1;
nomme.urt(C_f,5,LaTeX("$\calc_f$"));
vardef g(expr x)=(x+4)*(x+1) enddef;
C_g:=courbefonc(g,-6,7,50);
draw C_g epaisseur 1;
nomme.llft(C_g,-5,LaTeX("$\calc_g$"));
fin;
\end{emp}
\end{center}
\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}

