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              pdftitle={Devoir de première STMG sur les proportions et les évolutions},%
              pdfauthor={O. Péault},%
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\begin{document}
 \titre{Proportions et taux}
 \classe{\premstmg}
 \typedoc{DS}{4}
 \date{19 octobre 2018}
 \duree{1 heure}
 
\affichetitre

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\begin{exercice}
On s'intéresse aux personnes portant des lunettes dans deux villes $A$ et $B$.
\begin{enumerate}
\item La ville $A$ a \num{26350} habitants et \SI{72}{\%} de ceux-ci sont porteurs de lunettes.

Quelle est le nombre de porteurs de lunettes dans la ville $A$ ?

\begin{corr}
$\dfrac{72}{100}\times 26350= 189172$

\medskip
Il y a donc \num{189172} porteurs de lunettes dans la ville $A$
\end{corr}

\vspace{4cm}

\item La ville $B$ a \num{26381} habitants qui portent des lunettes ce qui représente \SI{62}{\%} de la population.

Quelle est la population de la ville $B$ ?

\begin{corr}
Si $P$ est la population de la ville $B$ alors :

$\dfrac{62}{100}\times P=\num{26381}$

On a donc $P=\dfrac{\num{26381}\times100}{62}=\num{42550}$

La population de la ville $B$ est donc de \num{42550} habitants.
\end{corr}

\vspace{4cm}

\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Dans une enquête réalisée auprès de 300 personnes dont 180 femmes, la question
suivante a  été posée : de ces trois loisirs, \og faire du sport \fg{}, \og regarder la télévision \fg{} et \og lire un livre \fg{}, quel est celui que vous préférerez ?

Les 300 personnes ont répondu à la question.

\SI{55}{\%} des hommes et \SI{30}{\%} des femmes ont répondu préférer \og faire du sport\fg{}.
114 personnes ont dit qu'elles préféraient \og regarder la télévision \fg{}.

Sur toutes les personnes interrogées, il y a eu autant d'hommes que de femmes qui préféraient lire un livre.




\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{>{\centering\arraybackslash}m{2cm}|}}\hline
 & Faire du sport & Regarder la télévision & Lire un livre & Total \\ \hline
Hommes\rule[-2ex]{0pt}{5ex} & \rep{$66$} & \rep{$21$} & \rep{$33$} &\rep{$120$}\\ \hline
Femmes\rule[-2ex]{0pt}{5ex} & \rep{$54$} & \rep{$93$} & \rep{$33$} &\rep{$180$}\\ \hline
Total\rule[-2ex]{0pt}{5ex} & \rep{$120$} & \rep{$114$} & \rep{$66$} & 300\\ \hline
 
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\item Calculer la proportion de femmes dans cette enquête, la proportion de personnes qui préfèrent regarder la télévision et la proportion de femmes qui préfèrent regarder la télévision.

\begin{corr}

On a :

Femmes : $p_F=\dfrac{180}{300}=0,6=\SI{60}{\%}$

Télévision : $p_T=\dfrac{114}{300}=0,38=\SI{38}{\%}$

Femmes et télévision : $p_{F\cap T}=\dfrac{93}{300}=0,31=\SI{31}{\%}$
\end{corr}

\vspace{4cm}

\item Calculer la proportion de personnes interrogées qui sont des femmes ou qui préfèrent regarder la télévision.

\begin{corr}
Avec les notations de la question précédente, la proportion cherchée est celle de $F\cup T$. On a :

$p_{F\cup T}=p_F+p_T-p_{F\cap T}=0,6+0,38-0,31=0,67=\SI{67}{\%}$
\end{corr}

\vspace{2cm}

\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Face  à la  menace  d'une épidémie  frappant  les  troupeaux  de  bovins,  les  services
sanitaires décident d'organiser une vaccination de masse sur 800 bovins.
\SI{40}{\%} des animaux ont  été vaccinés.

Les experts considèrent que \SI{30}{\%} des animaux non vaccinés contracteront  la  maladie et que \SI{0,4}{\%} de la population totale de bovins est malade et vaccinée.

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre ci-dessous :


\begin{center}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);
u:=1.2cm;
proboffset:=10bp;
posprob:=0.5;
endlabelspace:=0;
dirlabel:=-90;
abscoord:=true;
draw startlabel("Bovins");
draw tree[1][1]((-2u,-1.5u),(2u,-1.5u))("Vaccinés","\rep{\SI{40}{\%}}","Non vaccinés","\rep{\SI{60}{\%}}");
draw tree[2][1]((-3u,-3.5u),(-1u,-3.5u))("Malades","\rep{$P_3$}","Non malades","");
draw tree[2][2]((1u,-3.5u),(3u,-3.5u))("\rep{Malades}","\rep{\SI{30}{\%}}","\rep{Non malades}","\rep{\SI{70}{\%}}");
draw endlabel[3][1]("\rep{\SI{0,4}{\%}}");
draw endlabel[3][3]("\rep{$P_2$}");
endfig;
\end{mplibcode}

\end{center}

%\vspace{1cm}
\item Calculer la proportion des bovins qui seront malades sans avoir pris le médicament.

\begin{corr}
D'après l'arbre ci-dessus, la proportion cherchée $P_2$ vérifie :

$P_2=0,6\times0,3=0,18=\SI{18}{\%}$
\end{corr}

\vspace{3cm}

\item  Calculer la proportion de bovins malades parmi ceux qui ont été vaccinés.

\begin{corr}
On cherche la proportion de bovins malades mais pas parmi la population totale, seulement parmi ceux qui ont été vaccinés.

L'arbre ci-dessus nous permet d'écrire que la proportion $P_3$ cherchée vérifie :

$0,4\times P_3 = 0,004$ On a donc : $P_3=\dfrac{0,004}{0,4}=0,01=\SI{1}{\%}$
\end{corr}

\vspace{3cm}

\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Un article coûtait \EUR{350} en 2016.
\begin{enumerate}
\item Il subit une augmentation de \SI{17}{\%} de 2016 à 2017. Quel est son prix en 2017 ?

\begin{corr}
Une augmentation de \SI{17}{\%} correspond à une multiplication par $1+\dfrac{17}{100}$.

Le prix de l'article en 2017 est donc : $P_{2017}=350\times \left(1+\dfrac{17}{100}\right)=350\times1,17=409,50$

L'article coutait \EUR{409,50} en 2017.
\end{corr}

\vspace{4cm}

\item En 2018, son prix est de \EUR{427}. Calculer le taux d'évolution du prix de cet article entre 2016 et 2018.

\begin{corr}
Le taux d'évolution $t$ est obtenu par le calcul : $\dfrac{P_{2018}-P_{2016}}{P_{2016}}$

On a donc $t=\dfrac{427-350}{350}=\dfrac{77}{350}=0,22=\SI{22}{\%}$
\end{corr}

\vspace{4cm}

\item Entre 2015 et 2016, le prix de cet article a baissé de \SI{12,5}{\%}. Quel était son prix en 2015 ?

\begin{corr}
Une baisse de \SI{12,5}{\%} correspond à une multiplication par $1-\dfrac{12,5}{100}$.

On peut donc écrire l'égalité suivante : $P_{2016}=P_{2015}\times \left(1-\dfrac{12,5}{100}\right)$

On a ainsi $350=P_{2015}\times 0,875$ et donc $P_{2015}=\dfrac{350}{0,875}=400$
\end{corr}

\vspace{4cm}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item La population d'une ville subit trois évolutions successives de $+\SI{15}{\%}$, $+\SI{18}{\%}$ et $-\SI{9}{\%}$.

Calculer le taux d'évolution global correspondant à ces trois évolutions.

\begin{corr}
Le taux d'évolution global $T$ vérifie l'égalité suivante :

$1+T=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)\times\left(1+\dfrac{18}{100}\right)\times\left(1-\dfrac{9}{100}\right)=1,23487$

On en déduit : 

$T=1,23487-1=0,23487=\SI{23,487}{\%}$
\end{corr}

\vspace{4cm}

\item Une quantité subit une augmentation de \SI{26}{\%} puis une baisse de \SI{26}{\%}. A-t-elle retrouvé sa valeur de départ ? Pourquoi ?

\begin{corr}
La quantité ne retrouve pas sa valeur de départ car on calcule \SI{26}{\%} de la valeur initiale pour l'augmentation et \SI{26}{\%} de la nouvelle valeur pour la baisse.
\end{corr}

\vspace{4cm}

\item De quelle taux a évolué globalement cette quantité ?
\begin{corr}
Le taux d'évolution global $T$ vérifie l'égalité suivante :

$1+T=\left(1+\dfrac{26}{100}\right)\times\left(1-\dfrac{26}{100}\right)=0,9324$

On en déduit : 

$T=0,9324-1=-0,0676=\SI{-6,76}{\%}$
\end{corr}


\vspace{4cm}

\item Par quel taux remplacer la baisse de \SI{26}{\%} pour que la quantité retrouve sa valeur de départ ?

\begin{corr}
Soit $t'$ le taux nécessaire pour que la quantité retrouve sa valeur initiale après une hausse de \SI{26}{\%}.

Si elle retrouve sa valeur initiale, le coefficient multiplicateur est $1$. $t'$ vérifie donc l'égalité ci-dessous :

$1=\left(1+\dfrac{26}{100}\right)\times\left(1+t'\right)$

\bigskip
On en déduit :

$1+t'=\dfrac{1}{1+\tfrac{26}{100}}=\dfrac{1}{1,26}\approx 0,7937$

\bigskip

On a donc $t'=\dfrac{1}{1,26}-1\approx -0,2063$

Conclusion : pour compenser une hausse de \SI{26}{\%}, il faut une baisse d'environ \SI{20,63}{\%}.
\end{corr}
\end{enumerate}
\end{exercice}



\end{document}
