\documentclass[11pt,french,a4paper]{article}


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              pdftitle={Devoir de première sur le produit scalaire},%
              pdfauthor={O. Péault},%
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\input{TexteFigureMP}

\newcommand{\qcm}{\begin{LARGE}\raisebox{-2pt}{\ding{111}}\end{LARGE}}


\begin{document}
 \titre{Produit scalaire}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Devoir}{11}
 \duree{1 heure}
 \date{26 mai 2016}

\begin{empfile}

 \begin{empcmds}
    input latexmp;
    input repere;
    
 \end{empcmds}

\affichetitre

 \abovedisplayskip=0.5ex
 \belowdisplayskip=0.5ex



\begin{exercice}[5 points]

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $a$ ; les points $E$ et $F$ sont tels que :
\begin{center} $\vect{AE}=\dfrac{3}{2}\vect{BC}$ \qquad et \qquad $\vect{BF}=\dfrac{1}{4}\vect{AC}$
\end{center}
Le but de l'exercice est de montrer que les droites $(EF)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$ en fonction de $a$. 
 \item Décomposer $\vect{EF}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.
 \item Calculer $\vect{EF}.\vect{AC}$ et conclure.
\end{enumerate}

\end{exercice}



\begin{exercice}[5 points]
$ABC$ est un triangle avec $AB=6$, $AC=10$ et $\widehat{BAC}=\ang{60}$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la longueur $BC$.
 \item En déduire la mesure des deux autres angles du triangle $ABC$ au dixième de degré près.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}[5 points]
Dans un repère orthonormé, on donne les points $A\couple{1}{5}$, $B\couple{3}{3}$ et $C\couple{-5}{-1}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $ABC$ est un triangle rectangle.
\item Déterminer une équation du cercle $\calc$ circonscrit à $ABC$.
\item Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice $m$ de $[BC]$.
\item Déterminer les points d'intersection de $\calc$ et $m$.
\item Démontrer que la droite $T$ d'équation $x+2y-11=0$ est tangente à $\calc$ en $A$.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}[5 points]

\begin{textefig}[width=6cm]
\begin{figmp}
u:=0.8cm;
repere(-1,4,u,-1,4,u);
pair A,B,C,D,E,F,G,H,I;
A:=_c(0,0);B:=_c(3,0);D:=_c(0,3);
C=B+D;H=(1/3)[A,B];I=(2/3)[A,B];
E=(1/3)[D,C];G=(2/3)[D,C];
F=(1/3)[A,D];
draw A--B--C--D--cycle;
marque_p:="";
nomme.llft(A);nomme.lrt(B);
nomme.urt(C);nomme.ulft(D);
marque_p:="croix";
nomme.bot(H);nomme.bot(I);
nomme.top(E);nomme.top(G);
nomme.lft(F);
fin;
\end{figmp}

\begin{enonce}
On considère le carré $ABCD$ de côté 3 ci-contre et les points $E$, $F$, $G$, $H$ et $I$ qui sont régulièrement espacés sur les côtés.

\bigskip
Pour chacune des questions ci-dessous, cocher la ou les case(s) correspondant aux réponses exactes. Attention, il y a 5 réponses exactes au total. certaines questions peuvent admettre aucune, une ou plusieurs bonnes réponses.
\end{enonce}
\end{textefig}


\begin{enumerate}
\item $\vect{AI}.\vect{AE}=$
\begin{colenumerate}[label=\protect\qcm]{3}
\item $AI\times AH$
\item $-AI\times AH$
\item $2$
\end{colenumerate}

\item $\vect{AB}.\vect{GF}=$
\begin{colenumerate}[label=\protect\qcm]{4}
\item $AB\times IA$
\item $AB\times GF$
\item $-AB\times IA$
\item $-AB\times GF$
\end{colenumerate}

\item $\cos\left(\widehat{EAB}\right)=$
\begin{colenumerate}[label=\protect\qcm]{3}
\item $\dfrac{\vect{AE}.\vect{AB}}{AE\times AB}$
\item $\dfrac{\vect{EA}.\vect{AB}}{EA\times AB}$
\item $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$
\end{colenumerate}

\item $\vect{BE}.\vect{IC}=$
\begin{colenumerate}[label=\protect\qcm]{3}
\item $9$
\item $-9$
\item $-2$
\end{colenumerate}
\end{enumerate}


\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}

