\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}


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              pdftitle={Devoir de première sur les probabilités},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}


\begin{document}
 \titre{Probabilités}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Corr}{7}
 \duree{1 heure}
 \date{18 février 2016}

\begin{empfile}

 \begin{empcmds}
    input latexmp;
    input repere;
    
 \end{empcmds}

\affichetitre

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\begin{exercice}

\begin{enumerate}
\item Un tableau à double entrée (par exemple le premier dé en ligne et le deuxième en colonne) nous permet d'obtenir rapidement les valeurs prises par $G$ (ne pas oublier la mise) et les probabilités correspondantes :

$P(G=10-m)=\dfrac{1}{36}$\qquad\qquad $P(G=6-m)=\dfrac{1}{36}$\qquad\qquad $P(G=5-m)=\dfrac{1}{36}$\qquad\qquad $P(G=4-m)=\dfrac{5}{36}$

$P(G=3-m)=\dfrac{1}{36}$\qquad\qquad $P(G=2-m)=\dfrac{2}{36}$\qquad\qquad $P(G=-m)=\dfrac{25}{36}$
\item $E(G)=(10-m)\times\dfrac{1}{36}+(6-m)\times\dfrac{1}{36}+(5-m)\times\dfrac{1}{36}+(4-m)\times\dfrac{5}{36}+(3-m)\times\dfrac{1}{36}+(2-m)\times\dfrac{2}{36}+(-m)\times\dfrac{25}{36}$

$E(G)=\dfrac{48-36m}{36}$
\item $E(G)=0 \Leftrightarrow 48-36m=0 \Leftrightarrow m=\dfrac{48}{36}=\dfrac{4}{3}$.
Le jeu est donc équitable pour $m=\dfrac{4}{3}$.

\item Puisque $E(G)=0$, on a :

 $V(G)=(10-\frac{4}{3})^2\times\dfrac{1}{36}+(6-\frac{4}{3})^2\times\dfrac{1}{36}+(5-\frac{4}{3})^2\times\dfrac{1}{36}+(4-\frac{4}{3})^2\times\dfrac{5}{36}+(3-\frac{4}{3})^2\times\dfrac{1}{36}+(2-\frac{4}{3})^2\times\dfrac{2}{36}+(-\frac{4}{3})^2\times\dfrac{25}{36}$
 
 $V(G)=\dfrac{97}{18}$

\item Soit $G'$ la variable aléatoire égale au nouveau gain. On a $G'=2G$.

$E(G')=E(2G)=2E(G)=0$. Le jeu est donc toujours équitable.

$V(G')=V(2G)=2^2V(G)=4\times\dfrac{97}{18}=\dfrac{194}{9}$
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}

\begin{enumerate}
\item L'urne contient $n+1$ boules. L'univers de l'expérience contient donc $(n+1)^2$ éventualités équiprobables.

\begin{itemize}
\item Les deux boules sont de la même couleur si elles sont rouges (1 éventualité) ou blanches ($n\times n$ éventualités).

On a donc $P(M)=\dfrac{1+n^2}{(n+1)^2}$

\item Les deux boules sont de couleurs différentes si la 1\iere{} est rouge et la 2\ieme{} est blanche ($1\times n$ éventualités) ou si la 1\iere{} est blanche et la 2\ieme{} est rouge ($n\times 1$ éventualités).

On a donc $P(N)=\dfrac{2n}{(n+1)^2}$

\end{itemize}


\item 
      \begin{enumerate}
      \item Les valeurs prises par $X$ sont $-(n+1)^2$ et $2(n+1)^2$.
      
      $P(X=-(n+1)^2)=P(M)=\dfrac{1+n^2}{(n+1)^2}$\qquad\qquad
      $P(X=2(n+1)^2)=P(N)=\dfrac{2n}{(n+1)^2}$
      
      \item $E(X)=-(n+1)^2\times\dfrac{1+n^2}{(n+1)^2} + 2(n+1)^2\times\dfrac{2n}{(n+1)^2} = -(1+n^2)+4n=-n^2+4n-1$
      \item Le jeu est favorable au joueur lorsque $E(X)>0$. L'étude du signe du polynôme $f(x)=-x^2+4x-1$ montre que $f(x)>0$ pour $x\in \intervalleOO{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$.
      
      $2-\sqrt{3}\approx 0,268$ et $2+\sqrt{3}\approx 3,732$ donc le jeu est favorable au joueur si $n=1$ ou $n=2$ ou $n=3$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
 $P(3\leqslant X \leqslant 7) = P(X\leqslant 7) - P(X<3) = P(X\leqslant 7) - P(X\leqslant 2)$.
 
 À la calculatrice, on obtient $P(3\leqslant X \leqslant 7) \approx 0,3805$
\end{exercice}

\begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item Chaque réponse est une expérience aléatoire à deux issues (bonne réponse avec une probabilité de $\frac{1}{3}$ ou mauvaise réponse avec une probabilité de $\frac{2}{3}$). Yannis répète 20 fois cette expérience. La variable aléatoire $X$, le nombre de bonnes réponses de Yannis, suit donc la loi binomiale de paramètres 20 et $\frac{1}{3}$.

On obtient donc, avec l'aide de la calculatrice, les résultats suivants : 
   \begin{enumerate}[label={$P(\Alph*)=$}]
      \item $P(X=14)=\ds\binom{20}{14}\times\left(\frac{1}{3}\right)^{14}\times\left(\frac{2}{3}\right)^6\approx 0,00285$
      \item $P(X=20)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{20}\approx \num{2,87e-10}$
      \item $P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{20}\approx 0,9997 $
      \item $P(X\leqslant 10) \approx 0,962$
      \item $P(X\geqslant 5)=1-P(X<5)=1- P(X\leqslant 4)\approx0,848$
   \end{enumerate}
\item $E(X)=20\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{20}{3}\approx 6,67$. En procédant ainsi pour tous ses QCM, Yannis peut espérer obtenir en moyenne $6,67$ bonnes réponses par examen.
\item $V(X)=20\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{40}{9}\approx4,44$.
\end{enumerate}
\end{exercice}



\end{empfile}
\end{document}

