\documentclass[10pt,french,a4paper]{article}


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  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{pifont}

  \usepackage{emp}

  \usepackage{PresentationArticle}   %Paquet perso
  \usepackage{Commandes}      %Paquet perso
  \usepackage{fourier}

 \usepackage[output-decimal-marker={,}]{siunitx}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
     \frenchbsetup{SuppressWarning,CompactItemize=false}
     \DecimalMathComma

  \usepackage[%
              pdftitle={Devoir de première sur les probabilités},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}


\begin{document}
 \titre{Probabilités}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Corr}{8}
 \duree{1 heure}
 \date{22 février 2016}

\begin{empfile}

 \begin{empcmds}
    input latexmp;
    input arbres;
    setupLaTeXMP(inputencoding="utf8",
                 packages="fourier,amsmath,nicefrac,babel[french]",
                 preamble="\DecimalMathComma");
    
 \end{empcmds}

\affichetitre

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\begin{exercice}
On peut modéliser l'expérience par l'arbre de probabilité ci-dessous :

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
    draw arbre[1][1](2cm,2cm)("$R_1$","$\nicefrac{3}{10}$","$B_1$","$\nicefrac{7}{10}$");
    draw arbre[2][1](2cm,1cm)("$R_2$","$\nicefrac{2}{9}$","$B_2$","$\nicefrac{7}{9}$");
    draw arbre[2][2](2cm,1cm)("$R_2$","$\nicefrac{3}{9}$","$B_2$","$\nicefrac{6}{9}$");
    
\end{emp}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $X$ prend les valeurs $0$, $5$ et $10$.

$(X=10)$ est l'évènement : \og On obtient deux boules rouges \fg{}.

Sa probabilité est :
 $P(X=10)=\dfrac{3}{10}\times\dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{15}$

$(X=5)$ est l'évènement : \og On obtient une rouge au 1\ier{} et une blanche au 2\ieme{} ou le contraire \fg{}.

Sa probabilité est :
 $P(X=5)=\dfrac{3}{10}\times\dfrac{7}{9}+\dfrac{7}{10}\times\dfrac{3}{9}=\dfrac{42}{90}=\dfrac{7}{15}$

$(X=0)$ est l'évènement : \og On obtient deux boules blanches \fg{}.

Sa probabilité est :
 $P(X=0)=\dfrac{7}{10}\times\dfrac{6}{9}=\dfrac{1}{15}$

\item $E(X)=\dfrac{1}{15}\times10 + \dfrac{7}{15}\times5+\dfrac{7}{15}\times0=\dfrac{10}{15}+\dfrac{35}{15}=3$

$V(X)=\dfrac{1}{15}\times(10-3)^2 + \dfrac{7}{15}\times(5-3)^2+\dfrac{7}{15}\times(0-3)^2=\dfrac{49}{15}+\dfrac{28}{15}+\dfrac{63}{15}=\dfrac{140}{15}=\dfrac{28}{3}$.
\end{enumerate}

\item On décide maintenant de faire payer une mise $m$ au joueur. On appelle $Y$ la nouvelle variable aléatoire égale au gain du joueur.
\begin{enumerate}
\item $Y=X-m$ donc $E(Y)=E(X-m)=E(X)-m=3-m$.
\item Le jeu est équitable si $E(Y)=0$ donc si $m=3$.
\item $V(Y)=\dfrac{28}{3}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
On lance plusieurs un dé tétraédrique (4 faces numérotées de 1 à 4) bien équilibré et on regarde si le résultat est  égal à 1.
\begin{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où on a obtenu 1 en 10 lancers. On réalise alors 10 fois la même expérience à deux issues (on obtient 1 avec une probabilité de $\frac{1}{4}$ ou pas) de manière indépendante. $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $10$ et $\frac{1}{4}$.

À l'aide des formules du cours et de la calculatrice, on obtient les probabilités suivantes :
\begin{enumerate}[label={$\Alph*$ : }]
\item \og On obtient 10 fois le 1. \fg{}

$P(A)=P(X=10)=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{10} \approx \num{9,54e-7}$

\item \og On obtient 5 fois le 1. \fg{}

$P(B)=P(X=5)=\ds\binom{10}{5}\times\left(\dfrac{1}{4}\right)^5\times\left(\dfrac{3}{4}\right)^5\approx \num{5,84e-2} $

\item \og On obtient au moins une fois le 1. \fg{}

$P(C)=P(X\geqslant1)=1-P(X=0)=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{10}\approx 0,944$

\item \og On obtient 9 fois ou plus le 1. \fg{}

$P(D)=P(X=9)+P(X=10)=\ds\binom{10}{9}\times\left(\dfrac{1}{4}\right)^9\times\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{1}{4}\right)^{10}\approx \num{2,96e-5}$
\end{enumerate}
\item On effectue maintenant 50 lancers. On a donc une nouvelle expérience et une nouvelle variable aléatoire associée. Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où on a obtenu 1 en 50 lancers. On réalise alors 50 fois la même expérience à deux issues (on obtient 1 avec une probabilité de $\frac{1}{4}$ ou pas) de manière indépendante. $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $50$ et $\frac{1}{4}$.
\begin{enumerate}
\item 
À l'aide des formules du cours et de la calculatrice (notamment le calcul de $P(Y\leqslant k)$), on obtient les probabilités suivantes :

\begin{enumerate}[label={$\Alph*$ : },start=5]
\item \og On n'obtient pas le 1. \fg{}

$P(E)=P(Y=0)=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50} \approx \num{5,66e-7}$

\item \og On obtient 10 fois ou moins de 10 fois le 1.\fg{}

$P(F)=P(Y\leqslant 10)\approx 0,262$

\item \og On obtient 30 fois ou plus de 30 fois le 1.\fg{}

$P(G)=P(Y\geqslant30)=1-P(Y\leqslant 29)\approx \num{1,64e-7}$

\item \og On obtient le 1 entre 15 et 25 fois. \fg{}

$P(H)=P(15\leqslant Y \leqslant 25) = P(Y\leqslant25) - P(Y\leqslant14) \approx 0,252$
\end{enumerate}
\item $Y$ suit  la loi binomiale de paramètres $50$ et $\frac{1}{4}$ donc $E(Y)=50\times\frac{1}{4}=12,5$ et $V(Y)=50\times\frac{1}{4}\times\frac{3}{4}=9,375$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
On admet que $\ds\binom{9}{2}=36$ et $\ds\binom{9}{3}=84$.

\begin{enumerate*}[itemjoin=\qquad\qquad\qquad,label={$\alph*=$}]
\item $\ds\binom{9}{0}=1$ (Formule du cours)
\item $\ds\binom{9}{8}=9$ (Formule du cours)
\item $\ds\binom{9}{7}=\ds\binom{9}{9-7}=\ds\binom{9}{2}=36$
\item $\ds\binom{9}{6}=\ds\binom{9}{9-6}=\ds\binom{9}{3}=84$
\item $\ds\binom{10}{7}=\ds\binom{9}{7}+\ds\binom{9}{6}=36+84=120$
\end{enumerate*}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Une étude montre que \SI{70}{\%} des Français portent des lunettes (source : \emph{ifop}).
\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item  L'effectif de l'échantillon est très faible par rapport à la population française ce qui permet d'assimiler le prélèvement de cet échantillon à un tirage avec remise. On peut donc considérer qu'on réalise $200$ tirages sans remise avec pour chacun une probabilité $0,7$ que la personne porte des lunettes. Le nombre de porteurs de lunettes dans cet échantillon suit donc la loi binomiale de paramètres $200$ et $0,7$.
          \item Grace à la calculatrice, on obtient :
          
          $P(X\leqslant 126)<0,025$ et $P(X\leqslant 127)>0,025$ d'une part
          
          $P(X\leqslant 151)<0,975$ et $P(X\leqslant 152)>0,975$ d'autre part
          
          L'intervalle de fluctuation au seuil de \SI{95}{\%} de la fréquence de porteurs de lunettes dans cet échantillon est donc $I_f=\intervalleFF{\frac{127}{200}}{\frac{152}{200}}$ soit $I_f=\intervalleFF{0,635}{0,76}$
        \end{enumerate}
  \item $\frac{152}{200}\in I_f$. La rue peut donc être considérée comme représentative de la population sur ce critère.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\end{empfile}
\end{document}

