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              pdftitle={Devoir de première sur les probabilités},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}


\begin{document}
 \titre{Probabilités}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Devoir}{8}
 \duree{1 heure}
 \date{22 février 2016}

\begin{empfile}

 \begin{empcmds}
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 \end{empcmds}

\affichetitre

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\begin{exercice}[6 points]
Une urne contient dix boules dont trois sont rouges et les autres sont blanches.

On considère le jeu suivant : On tire successivement deux boules \emph{sans remise}. À chaque boule rouge tirée, on gagne \EUR{5}, les autres boules ne rapportent aucun gain.

\begin{enumerate}
\item On appelle $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item Calculer l'espérance de $X$ puis la variance de $X$.
\end{enumerate}

\item On décide maintenant de faire payer une mise $m$ au joueur. On appelle $Y$ la nouvelle variable aléatoire égale au gain du joueur.
\begin{enumerate}
\item Calculer $E(Y)$ en fonction de $m$.
\item Quelle doit être la valeur de $m$ pour que le jeu soit équitable ?
\item Calculer alors $V(Y)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[8 points]
On lance plusieurs un dé tétraédrique (4 faces numérotées de 1 à 4) bien équilibré et on regarde si le résultat est  égal à 1.
\begin{enumerate}
\item On effectue 10 lancers. Calculer, en justifiant, la probabilité des évènements suivants :
\begin{enumerate}[label={$\Alph*$ : }]
\item \og On obtient 10 fois le 1. \fg{}
\item \og On obtient 5 fois le 1. \fg{}
\item \og On obtient au moins une fois le 1. \fg{}
\item \og On obtient 9 fois ou plus le 1. \fg{}
\end{enumerate}
\item On effectue maintenant 50 lancers. 
\begin{enumerate}
\item 
Calculer, en justifiant, la probabilité des évènements suivants :
\begin{enumerate}[label={$\Alph*$ : },start=5]
\item \og On n'obtient pas le 1. \fg{}
\item \og On obtient 10 fois ou moins de 10 fois le 1.\fg{}
\item \og On obtient 30 fois ou plus de 30 fois le 1.\fg{}
\item \og On obtient le 1 entre 15 et 25 fois. \fg{}
\end{enumerate}
\item Déterminer l'espérance et la variance de la variable aléatoire donnant le nombre de 1 obtenus.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[2 points]
On admet que $\ds\binom{9}{2}=36$ et $\ds\binom{9}{3}=84$. Effectuer les calculs suivants \emph{sans calculatrice} (donc en détaillant lorsque c'est nécessaire) :

\begin{enumerate*}[itemjoin=\qquad\qquad,label={$\alph*=$}]
\item $\ds\binom{9}{0}$
\item $\ds\binom{9}{8}$
\item $\ds\binom{9}{7}$
\item $\ds\binom{9}{6}$
\item $\ds\binom{10}{7}$
\end{enumerate*}
\end{exercice}

\begin{exercice}[4 points]
Une étude montre que \SI{70}{\%} des Français portent des lunettes (source : \emph{ifop}).
\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item  On considère la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de porteurs de lunettes dans un échantillon de 200 Français pris au hasard.

              Quelle loi suit $X$ ? Justifier.
          \item En déduire l'intervalle de fluctuation au seuil de \SI{95}{\%} de la fréquence de porteurs de lunettes dans cet échantillon.
        \end{enumerate}
  \item On se place dans une rue piétonne dans laquelle, sur 200 passants, 152 portent des lunettes.

  Cette rue est-elle représentative  de la population  sur ce critère ?
\end{enumerate}
\end{exercice}
\end{empfile}
\end{document}

