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              pdftitle={Devoir de première sur les probabilités},%
              pdfauthor={O. Péault},%
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\begin{document}
 \titre{Probabilités}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Devoir}{7}
 \duree{1 heure}
 \date{18 février 2016}

\begin{empfile}

 \begin{empcmds}
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 \end{empcmds}

\affichetitre

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\begin{exercice}[6 points]
Dans une fête foraine, pour une mise initiale de \EUR{m}, un joueur est invité à lancer deux dés fantaisistes dont les faces sont marquées de la façon suivante :

\hspace{3em}
\begin{itemize*}[itemjoin=\hfill]
\item Premier dé : 1, 2, 2, 4, 4, 4 ;
\item Deuxième dé : 1, 3, 4, 4, 5, 6.
\end{itemize*}\hspace{\stretch{1}}

On suppose que chaque face a la même probabilité d'apparaître.

Si le résultat est le \og double 1 \fg{}, le joueur gagne \EUR{10}. Si un seul 1 apparait le joueur gagne le montant indiqué sur l'autre dé. Dans les autres cas, la partie est perdue.

On appelle $G$ la variable aléatoire égale au gain du joueur.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $G$.
\item Déterminer l'espérance de $G$.
\item Déterminer $m$ pour que le jeu soit équitable.
\item Avec la valeur de $m$ trouvée précédemment, calculer la variance de $G$.
\item On décide de doubler la mise ainsi que tous les gains. Le jeu est-il toujours équitable ? Quelle la valeur de la nouvelle variance ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[6 points]
Une urne contient une boule rouge et $n$ boules blanches.
On tire \emph{successivement et avec remise} deux boules de l'urne.

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $n$ la probabilité des événements suivants :
   \begin{enumerate}[label=$\Alph*$ : ,start=13]
\item  \og Les deux boules sont de la même couleur \fg 
\item  \og Les deux boules sont de couleur différente \fg
\end{enumerate}

\item On considère le jeu suivant : le joueur perd $(n+1)^2$ euros si $M$ est réalisé et gagne $2(n+1)^2$ euros sinon.
 On appelle $X$ la variable aléatoire égale au gain (positif ou négatif) du joueur.
      \begin{enumerate}
      \item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
      \item Démontrer que $E(X)=-n^2+4n-1$.\par
      \item Pour quelles valeurs de $n$ le jeu est-il favorable au joueur ?
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[2 points]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $22$ et $0,37$.

Calculer $P(3\leqslant X \leqslant 7)$.
\end{exercice}

\begin{exercice}[6 points]
Un QCM (questionnaire à choix multiple) comporte vingt questions. Pour chaque question, trois réponses sont proposées dont une seule est correcte.

Yannis décide de répondre au hasard à toutes les questions du QCM.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses de Yannis.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
   \begin{enumerate}[label=$\Alph*$ : ]
      \item \og Yannis obtient exactement quatorze bonnes réponses. \fg
      \item \og Yannis répond correctement à toutes les questions. \fg
      \item \og Yannis donne au moins une bonne réponse. \fg
      \item \og Yannis répond correctement à 10 ou moins de 10 questions. \fg
      \item \og Yannis répond correctement à 5 ou plus de 5 questions. \fg
   \end{enumerate}
\item Calculer $E(X)$ et interpréter le résultat.
\item Calculer $V(X)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}



\end{empfile}
\end{document}

