\documentclass[11pt,twoside,a4paper,french]{article}


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              pdftitle={Devoir de seconde sur les probabilités},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}


\begin{document}
 \titre{Probabilités}
 \classe{\scd}
 \typedoc{Devoir}{7}
 \duree{1 heure}
 \date{3 février 2016}

\begin{empfile}

 \begin{empcmds}
    input latexmp;
    input repere;
    color coul[];
 coul1:=(0,0,0.5);
 coul2:=(0.3,0,0.6);
 coul3:=0.3white;
 coul4:=0.5red;
 u:=0.6cm;
 \end{empcmds}

\affichetitre

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\begin{exercice}[3 points]
Un dé à 20 faces possède quatre faces numérotées \og 1\fg, six faces numérotées \og 2\fg, deux faces \og 3\fg, trois faces \og 4\fg,  et cinq faces \og 5\fg.

On lance une fois ce dé on s'intéresse au nombre obtenu.

On note $A$ l'événement \og obtenir un chiffre pair\fg et $B$ l'événement \og obtenir un chiffre supérieur strictement à~3\fg.
\begin{enumerate}
\item Calculer $p(A)$ et $p(B)$.
\item Expliciter, à l'aide d'une phrase en français, les évènements suivants :
\[A\cap B,\quad A\cup B,\quad \overline{A},\quad\overline{B},\quad
\overline{A\cap B},\quad \overline{A\cup B}\]
\item Calculer les probabilités des évènements de la question précédente.
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[5 points]
Un club propose deux types d'activité : le sport en compétition et le sport en loisir. 

Des tarifs différents sont proposés selon que l'on est adulte (plus de 18 ans) ou jeune.

Le nombre d'adhérents du club est 900 et on sait que :

\begin{itemize}
   \item 567 ont choisi le sport-loisir et parmi eux 234 sont adultes. 
   \item 270 jeunes ont choisi la compétition.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
   \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous.
   
 \begin{center}
        \begin{tabular}{|m{2cm}|>{\centering}m{3cm}|>{\centering}m{3cm}|c|}
            \hhline{~---}
            \multicolumn{1}{c|}{}& 
            Sport-loisir & 
            Compétition  & 
            Total \\
            \hline 
            Adultes & & & \\
            \hline 
            Jeunes & & & \\
            \hline 
            Total & & & 900 \\
            \hline 
         \end{tabular} 
\end{center}
      
   \item On choisit un adhérent du club et on appelle $C$ l'évènement : \og L'adhérent a choisi la compétition \fg{} et $A$ l'évènement : \og L'adhérent est un adulte \fg{}.
   \begin{enumerate}
      \item Quel est l'univers de cette expérience ? Quelle est la loi de probabilité ?
      \item Calculer les probabilités des évènements $A$ et $C$.
      \item Décrire par une phrase les évènements suivants : $\barre{A}$, $A\cap C$, $A\cup C$.
      \item Calculer la probabilité de chacun des évènements de la question précédente.
   \end{enumerate}
      \item On choisit un adhérent parmi les adultes. Quelle est la probabilité $p_1$ qu'il ait choisi la compétition ?
      \item On choisit un adhérent parmi ceux qui ont choisi la compétition. Quelle est la probabilité $p_2$ qu'il s'agisse d'un adulte ?

\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[6 points]
Un sac contient cinq jetons :
\begin{itemize}[leftmargin=3em]
   \item un portant le numéro 3 ;
   \item deux portant le numéro 2 ;
   \item deux portant le numéro 1.
\end{itemize}
On tire un jeton puis un deuxième jeton sans remettre le premier jeton dans le sac. On fait alors la somme des numéros obtenus.

Un résultat est un couple dont le premier élément est le numéro du jeton tiré lors du premier tirage et le second, le numéro du jeton tiré lors du second tirage, par exemple $\couple{3}{2}$.
\begin{enumerate}
   \item Modéliser cette expérience par un arbre. Combien l'univers comporte-t-il d'éventualités ?
   \item En déduire la probabilité de chacun des évènements suivants :
   \begin{enumerate}[label=$\Alph*$ :,widest=1]
      \item \og Obtenir deux jetons dont les numéros sont identiques \fg ;
      \item \og Obtenir deux jetons dont les numéros sont différents \fg ;
      \item \og Obtenir un total de 4 points avec les deux jetons \fg ;
      \item \og Obtenir au moins 4 points avec les deux jetons \fg.
   \end{enumerate}
   \item On tire maintenant trois jetons successivement sans remise.
   \begin{enumerate}
   \item Combien le nouvel univers a-t-il d'éventualités ?
   \item Calculer la probabilité de l'évènement $E$ : \og Obtenir 7 points \fg.
   \end{enumerate}
   \end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[6 points]
Une urne contient 15 jetons : 5 sur lesquels est écrit la lettre A, 6 sur lesquels est écrit la lettre B et 4 sur lesquels est écrit la lettre C. On tire au hasard un jeton de l'urne puis, sans le remettre dans l'urne, on en tire un second. Un résultat de l'expérience est un \og mot \fg de deux lettres (par exemple BA).

   \begin{enumerate}
   \item On modélise l'expérience à l'aide de l'arbre pondéré ci-dessous :
       \begin{center}
\begin{emp}(0,0)
pair S,T[],U[];
numeric dx,dh,cr,u;
dx:=2;
dh:=1;
cr:=0.1;
u:=1cm;
for i:=1 upto 9:
 U[i]:=(2*dx*u,-i*dh*u);
endfor
T[1]:= 0.5[U[1],U[3]] shifted(-dx*u,0);
T[2]:= 0.5[U[4],U[6]] shifted(-dx*u,0);
T[3]:= 0.5[U[7],U[9]] shifted(-dx*u,0);
S:= 0.5[T[1],T[3]] shifted(-dx*u,0);
T[3]:= 0.5[U[7],U[9]] shifted(-dx*u,u*dh);
draw S withpen pencircle scaled 3;
draw cr[S,T[1]]--(1-cr)[S,T[1]];
draw cr[S,T[2]]--(1-cr)[S,T[2]];
draw cr[S,T[3]]--(1-cr)[S,T[3]];
draw cr[T[1],U[1]]--(1-cr)[T[1],U[1]];
draw cr[T[1],U[2]]--(1-cr)[T[1],U[2]];
draw cr[T[1],U[3]]--(1-cr)[T[1],U[3]];
draw cr[T[2],U[4]]--(1-cr)[T[2],U[4]];
draw cr[T[2],U[5]]--(1-cr)[T[2],U[5]];
draw cr[T[2],U[6]]--(1-cr)[T[2],U[6]];
label(textext("$A$"),T[1]) withcolor red;
label.top(textext("$\frac{1}{3}$"),0.55[S,T[1]]);
label(textext("$B$"),T[2]) withcolor green;
label.top(textext("$\frac{2}{5}$"),0.55[S,T[2]]);
label(textext("$C$"),T[3]) withcolor blue;
label(textext("$A$"),U[1]) withcolor red;
label.top(textext("$\frac{2}{7}$"),0.65[T[1],U[1]]);
label(textext("$B$"),U[2]) withcolor green;
label.top(textext("$\frac{3}{7}$"),0.65[T[1],U[2]]);
label(textext("$C$"),U[3]) withcolor blue;
label(textext("$A$"),U[4]) withcolor red;
label(textext("$B$"),U[5]) withcolor green;
label(textext("$C$"),U[6]) withcolor blue;
\end{emp}
%         \includegraphics{ArbresTableauxFigures.3}
      \end{center}

\vspace{2cm}
     \begin{enumerate}
        \item Expliquer les valeurs $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{7}$ et $\frac{3}{7}$ qui apparaissent sur cet arbre.
        \item Recopier et compléter cet arbre.
     \end{enumerate}
   \item Calculer la probabilité  des évènements suivants :
   \begin{enumerate}[label=$\Alph*$ :,start=5]
      \item \og On obtient deux lettres identiques. \fg
      \item \og On obtient au moins une fois la lettre B. \fg
      \item \og On obtient deux consonnes. \fg
      \item \og On obtient une voyelle en premier ou une consonne en deuxième. \fg
   \end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}

