\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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\setmainfont{STIX Two Text}
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            input repere;}

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              unicode,%
              pdftitle={Contrôle de première S sur les fonctions},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}
              
              
\newboolean{solution}

\NewEnviron{corrige}{\ifthenelse{\boolean{solution}}
                                {\par\medskip\color{blue}\BODY
                                \par\medskip}
                                {}
                    }


%\setboolean{solution}{true}

\begin{document}
 \titre{Fonctions}
 \classe{\prems}
 \typedoc{DS}{4}
 \duree{1 heure}
 \date{6 novembre 2018}
 
\affichetitre

{\Large\bfseries Nom :}

\bigskip

\begin{exercice}[7 points]
Soit $f$ la fonction définie par : \[ f(x)=\frac{x^2-6x+9}{-x^2+6x-5} \]
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\cald_f$ l'ensemble de définition de $f$.
\item Démontrer qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\in\cald_f$ : 
\[ f(x)=a+\frac{b}{-x^2+6x-5} \]
\item 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $x \longmapsto -x^2+6x-5$
\item En déduire les variations de $f$ sur $\cald_f$ (on pourra procéder par étapes).
\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie par : $g(x)=\sqrt{f(x)}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'ensemble de définition de $g$ est $\cald_g=\intervalleOO{1}{5}$.
\item Déterminer les variations de $g$ sur $\cald_g$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[5 points]
Soit $f$ la fonction définie sur $\cald_f=\intervalleFF{-7}{12}$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(-7,12,0.7cm,-6,7,0.7cm);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
vardef f(expr x)=-((x-1)**2)+4 enddef;
drawoptions(couleur 0.5blue epaisseur 1);
draw courbefonc(f)(-2,4);
draw (-2,-5)--(-7,5);
draw (4,-5)--(12,3);
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
    \item Par lecture graphique, dresser le tableau de variation de $f$ sur $\cald_f$.
    \item Soit $g$ la fonction définie par $g=-3f$.\par Déterminer $\cald_g$ et dresser  le tableau de variation de $g$ sur $\cald_g$.
    \item Soit $h$ la fonction définie par $h=\frac{1}{-3f}$.\par Déterminer $\cald_h$ et dresser  le tableau de variation de $h$ sur $\cald_h$.
  \end{enumerate}
\item Sur le graphique ci-dessus :
  \begin{enumerate}
  \item Tracer la représentation graphique de la fonction $f+3$.
  \item Tracer la représentation graphique de la fonction $|f|$.
  \item Tracer une allure possible de la représentation graphique de la fonction $\sqrt{f}$ sur son ensemble de définition.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[5 points]
Soit $f$ la fonction définie par : \[ f(x)=\Big\lvert -x^2+7x-10\Big\rvert- x^2+9x-12 \]
\begin{enumerate}
\item Donner une écriture simplifiée de $f(x)$ selon les valeurs de $x$ (on pourra utiliser un tableau).

\begin{corrige}
Pour simplifier l'écriture de $f(x)$, il suffit d'étudier le signe de $P(x)=-x^2+7x-10$ 

$P$ est un polynôme du second degré qui s'annule (après calculs...) en $2$ et $5$. Son coefficient de $x^2$ est négatif ($-1$), on en déduit le tableau ci-dessous :


\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=3,
            lgt=3.5,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe de\\
$-x^2+7x-10$/1.25,
$\left|-x^2+7x-10\right|=$/0.75,
$-x^2+9x-12=$/0.75,
$f(x)$/0.75
}
{$-\infty$,$2$,$5$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
\tkzTabLine{,x^2-7x+10,z,-x^2+7x-10,z,x^2-7x+10,}%
\tkzTabLine{,-x^2+9x-12,t,-x^2+9x-12,t,-x^2+9x-12,}%
\tkzTabLine{,2x-2,t,-2x^2+16x-22,t,2x-2,}%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{corrige}


\item En déduire le tableau de variation de $f$.

\begin{corrige}
La fonction $x\mapsto 2x-2$ est une fonction affine de coefficient directeur positif donc strictement croissante.

La fonction $x\mapsto -2x^2+16x-22$ est une fonction polynôme du second degré qui atteint son extremum en $x=\frac{-16}{2\times(-2)}=4$. Le coefficient de $x^2$ est négatif, elle est donc croissante sur $\intervalleOF{-\infty}{4}$ et décroissante sur $\intervalleFO{4}{+\infty}$.

On obtient donc le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.75,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
$f(x)$/0.75,
Variations\\
de $f$/2
}
{$-\infty$,$2$,$4$,$5$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,2x-2,t,,-2x^2+16x-22,,t,2x-2,}%
\tkzTabVar{-/ ,R, +/$10$, -/8,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{corrige}

\item Tracer la représentation graphique de $f$

\begin{corrige}
Pour obtenir la courbe représentative de $f$, il suffit de tracer les représentations graphiques des deux fonctions précédentes et de ne garder que les parties qui correspondent aux intervalles indiqués dans le tableau :

\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere.larg(-3,9,9cm,-6,13,9cm);
vardef g(expr x)= -2*(x**2)+16x-22 enddef;
path Cg,Cf;
Cg=courbefonc(g)(-4,8);
Cf=courbefonc(g)(2,5);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
draw Cg dashed evenly;
draw droite(2,-2) dashed evenly;
drawoptions(couleur bleu);
draw Cf epaisseur 1;
draw (-4,-10)--(2,2) epaisseur 1;
draw (5,8)--(9,16) epaisseur 1;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}
\end{corrige}
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}[3 points]
Résoudre l'équation suivante : 
\[ \left\lvert x^2+4x-1\right\rvert = \left\lvert x^2-2x-3\right\rvert \]
\end{exercice}

\end{document}