\documentclass[11pt,twoside]{article}


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              pdftitle={Devoir de première sur les fonctions},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}


\begin{document}
 \titre{Repérage}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Corr}{3}
 \duree{1 heure}
 \date{2 novembre 2015}

\begin{empfile}

 \begin{empcmds}
    input latexmp;
    input repere;
    
 \end{empcmds}

\affichetitre

 \abovedisplayskip=0.5ex
 \belowdisplayskip=0.5ex




\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2+4x+5$ et $g$ la fonction définie par $g(x)=\sqrt{f(x)}$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Après calcul du discriminant ($36$), on trouve les 2 racines de $f$ : $-1$ et $5$.

Le coefficient de $x^2$ étant négatif, on en déduit le tableau ci-dessous :

 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}
 \tikzset{t style/.style = dashed}
 \tkzTabInit[color,
             colorC=LFBcoultable1,
             colorV=LFBcoultable1,
             espcl=2.5,
             lgt=2,
             deltacl=0.5]
 {$x$ /0.75,
 Signe\\
 de  $f(x)$/1.25
 }
 {$-\infty$,$-1$,$5$,$+\infty$}
 \tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 

\item La fonction racine carrée étant définie sur $\R^+$, on a : $x\in\cald_g \Leftrightarrow f(x)\geqslant 0$

On en déduit, à partir du tableau ci-dessus : \fbox{$\cald_g=\intervalleFF{-1}{5}$}
\end{enumerate} 
\item 
\begin{enumerate}
\item $f$ est un polynôme du second degré qui atteint son extremum pour $x=\frac{-4}{2\times(-1)}=2$. 

Le coefficient de $x^2$ étant négatif, cet extremum est un maximum et on en déduit le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Variations\\
de $f$ /2}
{$-\infty$,$-1$,$2$,$5$,$+\infty$}
\tkzTabVar{ -/,R, +/$9$,R, -/}
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\tkzTabIma{3}{5}{4}{$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}


\item D'après le cours, une fonction positive monotone $u$ et la fonction $\sqrt{u}$ ont même sens de variation. On en déduit donc le tableau :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Variations\\
de $g$ /2}
{$-1$,$2$,$5$}
\tkzTabVar{ -/$0$, +/$3$, -/$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
On considère une fonction $f$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.75,
Variations\\
de $f$ /2}
{$-1$,$0$,$3$,$5$}
\tkzTabVar{ +/$1$, -/$0$, R, +/$3$}
\tkzTabIma{2}{4}{3}{$2$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $g=-2f$ et $f$ ont le même ensemble de définition donc \fbox{$\cald_g=\intervalleFF{-1}{5}$}

$-2$ est négatif donc les fonctions $f$ et $g$ ont des sens de variation contraires :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.75,
Variations\\
de $g$ /2}
{$-1$,$0$,$3$,$5$}
\tkzTabVar{ -/$-2$, +/$0$, R, -/$-6$}
\tkzTabIma{2}{4}{3}{$-4$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $h=g+4$ et $g$ ont le même ensemble de définition donc \fbox{$\cald_h=\intervalleFF{-1}{5}$}

Les fonctions $g$ et $h$ ont même sens de variation :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.75,
Variations\\
de $h$ /2}
{$-1$,$0$,$3$,$5$}
\tkzTabVar{ -/$2$, +/$4$, R, -/$-2$}
\tkzTabIma{2}{4}{3}{$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}


\item $k=\dfrac{1}{h}$ est définie pour tout $x$ tel que $h(x)\neq0$. Le tableau ci-dessus nous montre que $h(x)=0 \Leftrightarrow x=3$.

On a donc :
 \fbox{$\cald_f=\intervalleFO{-1}{3}\cup\intervalleOF{3}{5}$}
 
 De plus, d'après le cours, les fonctions $h$ et $\dfrac{1}{h}$ ont des sens de variation contraires :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.35]
{$x$ /0.75,
Variations\\
de $h$ /2}
{$-1$,$0$,$3$,$5$}
\tkzTabVar{ +/$\frac{1}{2}$, -/$\frac{1}{4}$,+D-/ /, +/$-\frac{1}{2}$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
 
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[ f(x)= \left\lvert -x^2+2x+3 \right \rvert -x^2 +3x \]
\begin{enumerate}
\item Pour simplifier l'écriture de $f(x)$, il suffit d'étudier le signe de $P(x)=-x^2+2x+3$ 

$P$ est un polynôme du second degré qui s'annule (après calculs...) en $-1$ et $3$. Son coefficient de $x^2$ est négatif ($-1$), on en déduit le tableau :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe\\
de  $P(x)$/1.25
}
{$-\infty$,$-1$,$3$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
\end{tikzpicture}
\end{center}

On en déduit que $|P(x)|=P(x)$ pour $x\in\intervalleOF{-\infty}{-1}\cup\intervalleFO{3}{+\infty}$ et $|P(x)|=-P(x)$ pour $x\in\intervalleOO{-1}{3}$

On peut donc construire le tableau ci-dessous qui permet d'obtenir les valeurs de $f(x)$ en fonction de $x$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.75,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
$\left|-x^2+2x+3\right|$/0.75,
$-x^2+3x$/0.75,
$f(x)$/0.75
}
{$-\infty$,$-1$,$3$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,x^2-2x-3,z,-x^2+2x+3,z,x^2-2x-3,}%
\tkzTabLine{,-x^2+3x,t,-x^2+3x,t,-x^2+3x,}%
\tkzTabLine{,x-3,t,-2x^2+5x+3,t,x-3,}%
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La fonction $x\mapsto x-3$ est une fonction affine de coefficient directeur positif donc strictement croissante.

La fonction $x\mapsto -2x^2+5x+3$ est une fonction polynôme du second degré qui atteint son extremum en $x=\frac{-5}{2\times(-2)}=\frac{5}{4}$. Le coefficient de $x^2$ est négatif, elle est donc croissante sur $\intervalleOF{-\infty}{\frac{5}{4}}$ et décroissante sur $\intervalleFO{\frac{5}{4}}{+\infty}$.

On obtient donc le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.75,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
$f(x)$/0.75,
Variations\\
de $f$/2
}
{$-\infty$,$-1$,$\frac{5}{4}$,$3$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,x-3,t,,-2x^2+5x+3,,t,x-3,}%
\tkzTabVar{-/ ,R, +/$\frac{49}{8}$, -/0,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Pour obtenir la courbe représentative de $f$, il suffit de tracer les représentations graphiques des deux fonctions précédentes et de ne garder que les parties qui correspondent aux intervalles indiqués dans le tableau :

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
repere.larg(-4,6,9cm,-8,8,9cm);
vardef g(expr x)= -2*(x**2)+5x+3 enddef;
path Cg,Cf;
Cg=courbefonc(g,-4,6,60);
Cf=courbefonc(g,-1,3,60);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
draw Cg dashed evenly;
draw droite(1,-3) dashed evenly;
draw Cf epaisseur 1;
draw _c(-4,-7)--_c(-1,-4) epaisseur 1;
draw _c(3,0)--_c(6,3) epaisseur 1;
fin;
\end{emp}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Voir le cours.
\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}

